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Hauptsatz der Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet das bestimmte Integral mit einer Stammfunktion und ersetzt Flächensummen durch Funktionswerte.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren. Eine Integralfunktion mit variabler Obergrenze hat als Ableitung den ursprünglichen Integranden.

A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \Rightarrow A^{'} (x) = f (x)

Zugleich lässt sich jedes bestimmte Integral mit einer Stammfunktion F berechnen: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Das lernst du

Leite Integralfunktionen mit variabler Obergrenze ab.
Berechne bestimmte Integrale über Stammfunktionen.
Wende bei zusammengesetzten Obergrenzen die Kettenregel an.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Integralfunktion ableiten

Gegeben ist $A (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} + 1) d t$ . Bestimme A′.

1Integrand erkennen
$f (t) = t^{2} + 1$
2Hauptsatz
$A^{'} (x) = f (x)$
3Variable einsetzen
$A^{'} (x) = x^{2} + 1$

Ergebnis

$A^{'} (x) = x^{2} + 1$

Musteraufgabe 2

Mittel

Integral über eine Stammfunktion

Berechne $\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x$ .

1Stammfunktion
$F (x) = x^{3}$
2Hauptsatz
$F (2) - F (0) = 8 - 0$
3Resultat
$8$

Ergebnis

$8$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Integralfunktion

Bestimme $A^{'} (3)$ für $A (x) = \int_{1}^{x} 2 t d t$ .

Aufgabe 2

Einfach

Variable Obergrenze

Für $B (x) = \int_{0}^{x^{2}} cos t d t$ : Bestimme $B^{'} (0)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Bestimmtes Integral

Berechne $\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x$ .

Aufgabe 4

Einfach

Verbindung erkennen

Welche Operation macht das Bilden einer Integralfunktion rückgängig?

Aufgabe 5

Mittel

Integralfunktion an einer Stelle ableiten

Bestimme $A^{'} (- 1)$ , ohne das Integral zuerst auszurechnen.

A (x) = \int_{2}^{x} (t^{3} - 2 t) d t

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Variable lineare Obergrenze

Bestimme $B^{'} (4)$ .

B (x) = \int_{1}^{2 x + 1} t d t

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Zwei variable Grenzen

Leite C vollständig ab.

C (x) = \int_{x^{2}}^{x + 2} e^{t} d t

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter in einer Integralfunktion

Für welchen Wert von a gilt $A (2)$ = $\frac{14}{3}$ ?

A (x) = \int_{0}^{x} (t^{2} + a) d t

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren. Eine Integralfunktion mit variabler Obergrenze hat als Ableitung den ursprünglichen Integranden.

A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t \Rightarrow A^{'} (x) = f (x)

Zugleich lässt sich jedes bestimmte Integral mit einer Stammfunktion F berechnen: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Das lernst du

Leite Integralfunktionen mit variabler Obergrenze ab.
Berechne bestimmte Integrale über Stammfunktionen.
Wende bei zusammengesetzten Obergrenzen die Kettenregel an.

Hauptsatz der Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das lernst du

Integralfunktion ableiten

1Integrand erkennen

2Hauptsatz

3Variable einsetzen

Integral über eine Stammfunktion

1Stammfunktion

2Hauptsatz

3Resultat

Integralfunktion

Variable Obergrenze

Bestimmtes Integral

Verbindung erkennen

Integralfunktion an einer Stelle ableiten

Variable lineare Obergrenze

Zwei variable Grenzen

Parameter in einer Integralfunktion

Hauptsatz der Integralrechnung

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Das lernst du

Integralfunktion ableiten

1Integrand erkennen

2Hauptsatz

3Variable einsetzen

Integral über eine Stammfunktion

1Stammfunktion

2Hauptsatz

3Resultat

Integralfunktion

Variable Obergrenze

Bestimmtes Integral

Verbindung erkennen

Integralfunktion an einer Stelle ableiten

Variable lineare Obergrenze

Zwei variable Grenzen

Parameter in einer Integralfunktion