Themenübersicht

Höhere Ableitungen

Höhere Ableitungen beschreiben neben der Steigung auch Krümmung und weitere Veränderungen eines Graphen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Höhere Ableitungen

Eine Ableitungsfunktion kann erneut abgeleitet werden. Die zweite Ableitung $f^{''}$ beschreibt die Änderung der Steigung und damit die Krümmung; weitere Ableitungen werden mit zusätzlichen Strichen oder einer Klammerzahl notiert.

f^{''} f^{'''} f^{(n)}

Bei einer Wegfunktion s ist $s^{'} = v$ die Geschwindigkeit und $s^{''} = a$ die Beschleunigung. Bei Polynomen sinkt der Grad mit jeder Ableitung um $1$ .

Das lernst du

Berechne zweite, dritte und n-te Ableitungen.
Deute f″ als Änderung der Steigung beziehungsweise Krümmungsinformation.
Ordne bei Bewegungen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Polynom mehrfach ableiten

Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x$ .

1Erste Ableitung
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1$
2Zweite Ableitung
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x$
3Dritte Ableitung
$f^{'''} (x) = 24 x - 12$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 1, f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x, f^{'''} (x) = 24 x - 12$

Musteraufgabe 2

Mittel

Beschleunigung

Eine Bewegung wird durch $s (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t$ beschrieben. Bestimme die Beschleunigung bei $t = 3$ .

1Geschwindigkeit
$v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$
2Beschleunigung
$a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 6 t - 12$
3Zeit einsetzen
$a (3) = 18 - 12 = 6$

Ergebnis

Die Beschleunigung beträgt $6$ Einheiten pro Zeitquadrat.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Zweite Ableitung

Berechne $f^{''} (1)$ für $f (x) = x^{5}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Beschleunigungswert

Für $s (t) = 2 t^{3}$ : Berechne $s^{''} (2)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Bis zur Nullfunktion

Wie oft muss $f (x) = x^{4}$ abgeleitet werden, bis erstmals die Nullfunktion entsteht?

Aufgabe 4

Einfach

Notation verstehen

Was bedeutet $f^{''} (x)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Zweite Ableitung eines Polynoms

Bestimme $f^{''} (x)$ für $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

Aufgabe 6

Mittel

Dritte Ableitung der e-Funktion

Für $f (x) = e^{x}$ : Berechne $f^{'''} (0)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Ableitungszyklus der Sinusfunktion

Bestimme die vierte Ableitung von $f (x) = sin x$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Vierte Ableitung einer Potenz

Für $f (x) = x^{5}$ : Berechne $f^{(4)} (2)$ .

Höhere Ableitungen

f^{''} f^{'''} f^{(n)}

Bei einer Wegfunktion s ist $s^{'} = v$ die Geschwindigkeit und $s^{''} = a$ die Beschleunigung. Bei Polynomen sinkt der Grad mit jeder Ableitung um $1$ .

Das lernst du

Berechne zweite, dritte und n-te Ableitungen.
Deute f″ als Änderung der Steigung beziehungsweise Krümmungsinformation.
Ordne bei Bewegungen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung zu.

Höhere Ableitungen

Höhere Ableitungen

Das lernst du

Polynom mehrfach ableiten

1Erste Ableitung

2Zweite Ableitung

3Dritte Ableitung

Beschleunigung

1Geschwindigkeit

2Beschleunigung

3Zeit einsetzen

Zweite Ableitung

Beschleunigungswert

Bis zur Nullfunktion

Notation verstehen

Zweite Ableitung eines Polynoms

Dritte Ableitung der e-Funktion

Ableitungszyklus der Sinusfunktion

Vierte Ableitung einer Potenz

Höhere Ableitungen

Höhere Ableitungen

Das lernst du

Polynom mehrfach ableiten

1Erste Ableitung

2Zweite Ableitung

3Dritte Ableitung

Beschleunigung

1Geschwindigkeit

2Beschleunigung

3Zeit einsetzen

Zweite Ableitung

Beschleunigungswert

Bis zur Nullfunktion

Notation verstehen

Zweite Ableitung eines Polynoms

Dritte Ableitung der e-Funktion

Ableitungszyklus der Sinusfunktion

Vierte Ableitung einer Potenz