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Integral-Anwendungsaufgaben

Integral-Anwendungsaufgaben übersetzen Flächen, Volumen oder aufsummierte Änderungen in ein passendes Integral.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Akkumulierte Änderungen mit Integralen

Das Integral einer Änderungsrate liefert die gesamte Änderung einer Bestandsgrösse.

B (b) - B (a) = \int_{a}^{b} B^{'} (t) d t

Bei Geschwindigkeit liefert das Integral die Ortsänderung; die zurückgelegte Strecke erfordert dagegen das Integral von $∣ v (t) ∣$ . Einheiten werden beim Integrieren mit der Einheit der Variablen multipliziert.

Das lernst du

Übersetze eine Rate in eine akkumulierte Änderung.
Berechne Endbestände aus Anfangsbestand und Integral.
Unterscheide Ortsänderung und zurückgelegte Strecke.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Zuflussmenge

Ein Zufluss beträgt $q (t) = 3 t^{2} + 2$ Liter pro Stunde. Wie viel fliesst in den ersten $2$ Stunden zu?

1Rate integrieren
$Δ V = \int_{0}^{2} (3 t^{2} + 2) d t$
2Stammfunktion
$t^{3} + 2 t$
3Grenzen
$Δ V = [t^{3} + 2 t]_{0}^{2} = 8 + 4 = 12 L$

Ergebnis

Es fliessen $12$ Liter zu.

Musteraufgabe 2

Mittel

Ortsänderung und Strecke

Die Geschwindigkeit lautet $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ auf [ $0, 3$ ]. Vergleiche Ortsänderung und Strecke.

1Ortsänderung
$\int_{0}^{3} v (t) d t = [t^{3} - 6 t^{2} + 9 t]_{0}^{3} = 0$
2Richtungswechsel
$v (t) = 3 (t - 1) (t - 3)$
Bei $t = 1$ wechselt v im Innern das Vorzeichen.
3Strecke
$s_{ges} = \int_{0}^{1} v d t + \int_{1}^{3} v d t = 4 + 4 = 8$

Ergebnis

Ortsänderung $0$ , zurückgelegte Strecke $8 L$ ängeneinheiten.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Endbestand

Ein Bestand startet bei $100$ und wächst mit konstanter Rate $5$ pro Stunde während $4$ Stunden. Bestimme den Endbestand.

Aufgabe 2

Einfach

Lineare Rate

Berechne die Gesamtänderung für $r (t) = 2 t$ von $t = 0$ bis $t = 3$ .

Aufgabe 3

Einfach

Konstante negative Geschwindigkeit

Ein Körper hat $3$ Sekunden lang $v = - 4 \frac{m}{s}$ . Welche Strecke legt er zurück?

Aufgabe 4

Einfach

Rate deuten

Was liefert $\int_{a}^{b} B^{'} (t) d t$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Zufluss in einen Tank

Die Zuflussrate beträgt $r (t)$ = $4 t$ + $2$ Liter pro Stunde. Wie viele Liter fließen in den ersten $3$ Stunden zu?

Δ V = \int_{0}^{3} (4 t + 2) d t

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Weg trotz Richtungswechsel

Ein Körper bewegt sich mit $v (t) = 6$ − $2 t$ $\frac{m}{s}$ für $0$ ≤ t ≤ $5$ . Berechne die zurückgelegte Strecke.

s = \int_{0}^{5} ∣6 - 2 t ∣ d t

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Exponentielles Bestandswachstum

Ein Bestand startet bei $1000$ Einheiten und wächst mit $B^{'} (t) = 100 e^{(}$ $0, 2 t$ ) Einheiten pro Stunde. Bestimme $B (5)$ .

B (5) = 1000 + \int_{0}^{5} 100 e^{0, 2 t} d t

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wechselnde Änderungsrate

Ein Bestand hat $B (0) = 10$ und die Änderungsrate $B^{'} (t) = t^{2}$ − $4 t$ + $3$ . Bestimme $B (4)$ .

B (4) = 10 + \int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t + 3) d t

Akkumulierte Änderungen mit Integralen

Das Integral einer Änderungsrate liefert die gesamte Änderung einer Bestandsgrösse.

B (b) - B (a) = \int_{a}^{b} B^{'} (t) d t

Das lernst du

Übersetze eine Rate in eine akkumulierte Änderung.
Berechne Endbestände aus Anfangsbestand und Integral.
Unterscheide Ortsänderung und zurückgelegte Strecke.

Integral-Anwendungsaufgaben

Akkumulierte Änderungen mit Integralen

Das lernst du

Zuflussmenge

1Rate integrieren

2Stammfunktion

3Grenzen

Ortsänderung und Strecke

1Ortsänderung

2Richtungswechsel

3Strecke

Endbestand

Lineare Rate

Konstante negative Geschwindigkeit

Rate deuten

Zufluss in einen Tank

Weg trotz Richtungswechsel

Exponentielles Bestandswachstum

Wechselnde Änderungsrate

Integral-Anwendungsaufgaben

Akkumulierte Änderungen mit Integralen

Das lernst du

Zuflussmenge

1Rate integrieren

2Stammfunktion

3Grenzen

Ortsänderung und Strecke

1Ortsänderung

2Richtungswechsel

3Strecke

Endbestand

Lineare Rate

Konstante negative Geschwindigkeit

Rate deuten

Zufluss in einen Tank

Weg trotz Richtungswechsel

Exponentielles Bestandswachstum

Wechselnde Änderungsrate