Themenübersicht

Integral der e-Funktion

Die e-Funktion bleibt auch beim Integrieren erhalten.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Integrale der e-Funktion

Die Exponentialfunktion $e^{x}$ ist ihre eigene Ableitung – und damit auch ihre eigene Stammfunktion.

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Bei einer inneren linearen Funktion $e^{a x + b}$ erscheint der Kehrwert der inneren Ableitung als Vorfaktor.

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C (a \neq = 0)

Das lernst du

Integriere e^x und e^{ax+b}.
Bestimme den Ausgleichsfaktor aus der inneren Ableitung.
Kontrolliere Exponential-Stammfunktionen durch Ableiten.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Reine e-Funktion

Berechne $\int e^{x} d x$ .

1Grundintegral
$e^{x}$
2Konstante
$e^{x} + C$

Ergebnis

$e^{x} + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Mit innerem Faktor

Berechne $\int e^{4 x} d x$ .

1Innere Ableitung
Die Ableitung von 4x ist $4$ .
2Ausgleichsfaktor
$\frac{1}{4} e^{4 x}$
3Probe
$(\frac{1}{4} e^{4 x})^{'} = \frac{1}{4} \cdot 4 e^{4 x} = e^{4 x}$

Ergebnis

$\frac{1}{4} e^{4 x} + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Grundform

Welche Stammfunktion gehört zu $e^{x}$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Innerer Faktor

Welcher Faktor steht vor $e^{6 x}$ in $\int e^{6 x} d x$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Verschiebung

Berechne $\int e^{x - 2} d x$ bei $C = 0$ und werte bei $x = 2$ aus.

Aufgabe 4

Einfach

Probe

Ist $2 e^{\frac{x}{2}}$ eine Stammfunktion von $e^{\frac{x}{2}}$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Exponentialterm mit passendem Vorfaktor

Berechne das unbestimmte Integral.

\int 3 e^{3 x - 1} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Bestimmtes Exponentialintegral

Berechne das bestimmte Integral exakt.

\int_{0}^{l n 2} 4 e^{2 x} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Quadratischer Exponent

Berechne das unbestimmte Integral.

\int 2 x e^{x^{2} - 3} d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Unbekannte obere Grenze

Bestimme a > $0$ aus der Integralgleichung.

\int_{0}^{a} e^{x} d x = 3

Integrale der e-Funktion

Die Exponentialfunktion $e^{x}$ ist ihre eigene Ableitung – und damit auch ihre eigene Stammfunktion.

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Bei einer inneren linearen Funktion $e^{a x + b}$ erscheint der Kehrwert der inneren Ableitung als Vorfaktor.

\int e^{a x + b} d x = \frac{1}{a} e^{a x + b} + C (a \neq = 0)

Das lernst du

Integriere e^x und e^{ax+b}.
Bestimme den Ausgleichsfaktor aus der inneren Ableitung.
Kontrolliere Exponential-Stammfunktionen durch Ableiten.

Integral der e-Funktion

Integrale der e-Funktion

Das lernst du

Reine e-Funktion

1Grundintegral

2Konstante

Mit innerem Faktor

1Innere Ableitung

2Ausgleichsfaktor

3Probe

Grundform

Innerer Faktor

Verschiebung

Probe

Exponentialterm mit passendem Vorfaktor

Bestimmtes Exponentialintegral

Quadratischer Exponent

Unbekannte obere Grenze

Integral der e-Funktion

Integrale der e-Funktion

Das lernst du

Reine e-Funktion

1Grundintegral

2Konstante

Mit innerem Faktor

1Innere Ableitung

2Ausgleichsfaktor

3Probe

Grundform

Innerer Faktor

Verschiebung

Probe

Exponentialterm mit passendem Vorfaktor

Bestimmtes Exponentialintegral

Quadratischer Exponent

Unbekannte obere Grenze