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Integral von 1x

Die Stammfunktion von 1x ist der natürliche Logarithmus des Betrags von x.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Das Integral von 1/x

Die Potenzregel $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ gilt nicht für $n = - 1$ . Genau dieser Sonderfall liefert den natürlichen Logarithmus.

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C (x \neq = 0)

Der Betrag in $ln ∣ x ∣$ sorgt dafür, dass die Stammfunktion auch für negative x definiert ist (jeweils in einem Intervall ohne $0$ ).

Das lernst du

Erkenne 1/x als Ausnahme der Potenzregel.
Bilde Stammfunktionen der Form a/x und a/(bx+c).
Kontrolliere Logarithmus-Stammfunktionen durch Differenzieren.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Grundintegral

Berechne $\int \frac{1}{x} d x$ .

1Sonderfall erkennen
Hier ist $n = - 1$ , also keine Potenzregel.
2Logarithmus
$ln ∣ x ∣ + C$

Ergebnis

$ln ∣ x ∣ + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Mit Faktor und linearer Verschiebung

Berechne $\int \frac{3}{2 x + 1} d x$ .

1Innere Ableitung
$u = 2 x + 1 u^{'} = 2$
2Ausgleich
$\int \frac{3}{2 x + 1} d x = \frac{3}{2} \int \frac{2}{2 x + 1} d x$
3Logarithmieren
$\frac{3}{2} ln ∣2 x + 1∣ + C$

Ergebnis

$\frac{3}{2} ln ∣2 x + 1∣ + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Grundform

Welche Stammfunktion gehört zu $\frac{1}{x}$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Konstanter Faktor

Berechne den Koeffizienten vor $ln ∣ x ∣$ in $\int \frac{5}{x} d x$ .

Aufgabe 3

Einfach

Lineare innere Funktion

Welcher Faktor steht vor $ln ∣3 x - 2∣$ in $\int \frac{1}{3 x - 2} d x$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Betrag

Warum schreibt man $ln ∣ x ∣$ und nicht nur $ln x$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Verschobener Logarithmus

Berechne das unbestimmte Integral.

\int \frac{7}{x - 2} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Logarithmus mit Grenzen

Berechne das bestimmte Integral exakt.

\int_{1}^{e} \frac{2}{x} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Zähler als innere Ableitung

Berechne das unbestimmte Integral.

\int \frac{6 x}{3 x ^{2} + 5} d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Integral auf der negativen Halbachse

Berechne das Integral. Das Intervall enthält die Polstelle $0$ nicht.

\int_{- 4}^{- 1} \frac{1}{x} d x

Das Integral von 1/x

Die Potenzregel $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ gilt nicht für $n = - 1$ . Genau dieser Sonderfall liefert den natürlichen Logarithmus.

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C (x \neq = 0)

Der Betrag in $ln ∣ x ∣$ sorgt dafür, dass die Stammfunktion auch für negative x definiert ist (jeweils in einem Intervall ohne $0$ ).

Das lernst du

Erkenne 1/x als Ausnahme der Potenzregel.
Bilde Stammfunktionen der Form a/x und a/(bx+c).
Kontrolliere Logarithmus-Stammfunktionen durch Differenzieren.

Integral von 1x

Das Integral von 1/x

Das lernst du

Grundintegral

1Sonderfall erkennen

2Logarithmus

Mit Faktor und linearer Verschiebung

1Innere Ableitung

2Ausgleich

3Logarithmieren

Grundform

Konstanter Faktor

Lineare innere Funktion

Betrag

Verschobener Logarithmus

Logarithmus mit Grenzen

Zähler als innere Ableitung

Integral auf der negativen Halbachse

Integral von 1x

Das Integral von 1/x

Das lernst du

Grundintegral

1Sonderfall erkennen

2Logarithmus

Mit Faktor und linearer Verschiebung

1Innere Ableitung

2Ausgleich

3Logarithmieren

Grundform

Konstanter Faktor

Lineare innere Funktion

Betrag

Verschobener Logarithmus

Logarithmus mit Grenzen

Zähler als innere Ableitung

Integral auf der negativen Halbachse