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Integrale mit Nullstellen

Nullstellen teilen Integrale in Teilintervalle, damit Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse korrekt erfasst werden.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Integrale an Nullstellen aufteilen

Nullstellen teilen ein Intervall in Bereiche mit konstantem Vorzeichen. Für einen geometrischen Flächeninhalt integrierst du abschnittsweise und addierst die Beträge.

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

Das orientierte Integral darf positive und negative Beiträge verrechnen; die geometrische Gesamtfläche darf das nicht.

Das lernst du

Finde alle Nullstellen innerhalb der Grenzen.
Teile das Integral an Vorzeichenwechseln auf.
Berechne und vergleiche orientiertes Integral und Gesamtfläche.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Lineare Funktion über einer Nullstelle

Vergleiche Integral und Fläche für $f (x) = x$ auf [− $2, 3$ ].

1Orientiertes Integral
$\int_{- 2}^{3} x d x = [\frac{x ^{2}}{2}]_{- 2}^{3} = \frac{5}{2}$
2Nullstelle
$x = 0$
3Gesamtfläche
$A = \int_{- 2}^{0} x d x + \int_{0}^{3} x d x = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}$

Ergebnis

Integral $\frac{5}{2}$ , geometrische Fläche $\frac{13}{2}$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Drei Vorzeichenbereiche

Berechne die Gesamtfläche zwischen $f (x) = x^{2} - 1$ und der x-Achse auf [− $2, 2$ ].

1Nullstellen
$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$
2Symmetrie nutzen
$A = 2 (\int_{0}^{1} (1 - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x)$
3Auswerten
$A = 2 (\frac{2}{3} + \frac{4}{3}) = 4$

Ergebnis

$A = 4$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Betragsfläche

Berechne die Fläche zwischen $f (x) = x - 1$ und der x-Achse auf [ $0, 3$ ].

Aufgabe 2

Einfach

Orientiertes Integral

Berechne $\int_{- 2}^{2} x d x$ .

Aufgabe 3

Einfach

Erster Schritt

Was musst du vor einer Flächenberechnung mit Vorzeichenwechseln bestimmen?

Aufgabe 4

Einfach

Flächenvorzeichen

Kann die geometrische Gesamtfläche negativ sein?

Aufgabe 5

Mittel

Fläche einer linearen Funktion

Berechne die geometrische Fläche zwischen $f (x) = x - 2$ und der x-Achse auf [ $0, 5$ ].

f (x) = x - 2

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Orientiertes Integral mit zwei Nullstellen

Berechne das orientierte Integral.

\int_{- 3}^{3} (x^{2} - 3) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Quadratische Funktion mit innerer Nullstelle

Berechne die geometrische Fläche zwischen $f (x) = x (x - 2)$ und der x-Achse auf [ $0, 3$ ].

f (x) = x^{2} - 2 x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Vierfache Polynomstruktur

Berechne die gesamte geometrische Fläche zwischen $f (x) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4)$ und der x-Achse auf [− $2, 2$ ].

f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4

Integrale an Nullstellen aufteilen

Nullstellen teilen ein Intervall in Bereiche mit konstantem Vorzeichen. Für einen geometrischen Flächeninhalt integrierst du abschnittsweise und addierst die Beträge.

A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x

Das orientierte Integral darf positive und negative Beiträge verrechnen; die geometrische Gesamtfläche darf das nicht.

Das lernst du

Finde alle Nullstellen innerhalb der Grenzen.
Teile das Integral an Vorzeichenwechseln auf.
Berechne und vergleiche orientiertes Integral und Gesamtfläche.

Integrale mit Nullstellen

Integrale an Nullstellen aufteilen

Das lernst du

Lineare Funktion über einer Nullstelle

1Orientiertes Integral

2Nullstelle

3Gesamtfläche

Drei Vorzeichenbereiche

1Nullstellen

2Symmetrie nutzen

3Auswerten

Betragsfläche

Orientiertes Integral

Erster Schritt

Flächenvorzeichen

Fläche einer linearen Funktion

Orientiertes Integral mit zwei Nullstellen

Quadratische Funktion mit innerer Nullstelle

Vierfache Polynomstruktur

Integrale mit Nullstellen

Integrale an Nullstellen aufteilen

Das lernst du

Lineare Funktion über einer Nullstelle

1Orientiertes Integral

2Nullstelle

3Gesamtfläche

Drei Vorzeichenbereiche

1Nullstellen

2Symmetrie nutzen

3Auswerten

Betragsfläche

Orientiertes Integral

Erster Schritt

Flächenvorzeichen

Fläche einer linearen Funktion

Orientiertes Integral mit zwei Nullstellen

Quadratische Funktion mit innerer Nullstelle

Vierfache Polynomstruktur