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Integrale von Wurzelfunktionen

Wurzelfunktionen werden zum Integrieren als Potenzen mit gebrochenen Exponenten geschrieben.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Integrale von Wurzelfunktionen

Wurzeln schreibst du als Potenzen mit gebrochenen Exponenten und integrierst dann mit der Potenzregel.

x = x^{\frac{1}{2}} \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

Allgemein gilt für $n \neq = - 1$ :

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Das lernst du

Schreibe Wurzeln als Potenzen um.
Wende die Potenzregel auf gebrochene Exponenten an.
Vereinfache Ergebnisse wieder in Wurzelschreibweise.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratwurzel

Berechne $\int x d x$ .

1Umformen
$x = x^{\frac{1}{2}}$
2Potenzregel
$\frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$
3Konstante
$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Ergebnis

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Kubikwurzel

Berechne $\int 3 x d x$ .

1Umformen
$3 x = x^{\frac{1}{3}}$
2Potenzregel
$\frac{x ^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$
3Ergebnis
$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Ergebnis

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Umformung

Als welche Potenz schreibst du $x$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Stammfunktion √x

Welcher Faktor steht vor $x^{\frac{3}{2}}$ in $\int x d x$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Allgemein

Berechne den Exponenten von x in der Stammfunktion von $x^{\frac{1}{4}}$ .

Aufgabe 4

Einfach

Probe

Ist $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ eine Stammfunktion von $x$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Vielfaches einer Quadratwurzel

Berechne das unbestimmte Integral.

\int 3 x d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Wurzelfläche

Berechne das bestimmte Integral.

\int_{0}^{4} x d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Kehrwert einer Wurzel

Berechne für x > $0$ das unbestimmte Integral.

\int \frac{1}{x} d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wurzel mit innerer Funktion

Berechne das bestimmte Integral exakt.

\int_{0}^{3} x x^{2} + 1 d x

Integrale von Wurzelfunktionen

Wurzeln schreibst du als Potenzen mit gebrochenen Exponenten und integrierst dann mit der Potenzregel.

x = x^{\frac{1}{2}} \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{x ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C

Allgemein gilt für $n \neq = - 1$ :

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C

Das lernst du

Schreibe Wurzeln als Potenzen um.
Wende die Potenzregel auf gebrochene Exponenten an.
Vereinfache Ergebnisse wieder in Wurzelschreibweise.

Integrale von Wurzelfunktionen

Integrale von Wurzelfunktionen

Das lernst du

Quadratwurzel

1Umformen

2Potenzregel

3Konstante

Kubikwurzel

1Umformen

2Potenzregel

3Ergebnis

Umformung

Stammfunktion √x

Allgemein

Probe

Vielfaches einer Quadratwurzel

Wurzelfläche

Kehrwert einer Wurzel

Wurzel mit innerer Funktion

Integrale von Wurzelfunktionen

Integrale von Wurzelfunktionen

Das lernst du

Quadratwurzel

1Umformen

2Potenzregel

3Konstante

Kubikwurzel

1Umformen

2Potenzregel

3Ergebnis

Umformung

Stammfunktion √x

Allgemein

Probe

Vielfaches einer Quadratwurzel

Wurzelfläche

Kehrwert einer Wurzel

Wurzel mit innerer Funktion