Themenübersicht

Integrationsregeln

Integrationsregeln führen bekannte Ableitungsregeln rückwärts und liefern Stammfunktionen zusammengesetzter Terme.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Integrationsregeln anwenden

Integration ist linear: Konstanten dürfen vor das Integral gezogen, Summen gliedweise integriert werden. Dazu kommen Grundintegrale und einfache rückwärts erkannte Kettenregeln.

\int (a f + b g) d x = a \int f d x + b \int g d x

\int e^{x} d x = e^{x} + C \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Das lernst du

Kombiniere Linearität und Grundintegrale.
Integriere Potenzen mit n ≠ −1 und behandle 1/x separat.
Erkenne einfache Substitutionsmuster der Form f′(x)·g(f(x)).

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Polynom mit Linearität

Berechne $\int (4 x^{3} - 6 x + 2) d x$ .

1Gliedweise
$4 \frac{x ^{4}}{4} - 6 \frac{x ^{2}}{2} + 2 x$
2Vereinfachen
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x$
3Konstante
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + C$

Ergebnis

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Rückwärts angewandte Kettenregel

Berechne $\int 2 x cos (x^{2}) d x$ .

1Innere Funktion
$u = x^{2} d u = 2 x d x$
2Grundintegral
$\int cos u d u = sin u + C$
3Zurücksetzen
$sin (x^{2}) + C$

Ergebnis

$sin (x^{2}) + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Potenzregel

Bestimme den Koeffizienten vor x⁵ in $\int 10 x^{4} d x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Sonderfall

Welche Stammfunktion gehört zu $\frac{3}{x}$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Kettenmuster

Berechne $\int 3 x^{2} e^{x^{3}} d x$ bei $C = 0$ und $x = 0$ .

Aufgabe 4

Einfach

Linearität

Es gilt $\int f d x = F$ und $\int g d x = G$ . Was ist eine Stammfunktion von $2 f - 3 g$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Linearität und Wurzelpotenz

Berechne das unbestimmte Integral.

\int (4 x^{3} + 6 x - 5) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Innere Ableitung erkennen

Berechne das Integral mit der rückwärts angewandten Kettenregel.

\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Logarithmische Ableitung

Berechne das Integral und beachte den Betrag.

\int \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 4} d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Zwei Kettenmuster kombinieren

Berechne das unbestimmte Integral.

\int (2 x cos (x^{2} - 1) + 4 e^{4 x}) d x

Integrationsregeln anwenden

Integration ist linear: Konstanten dürfen vor das Integral gezogen, Summen gliedweise integriert werden. Dazu kommen Grundintegrale und einfache rückwärts erkannte Kettenregeln.

\int (a f + b g) d x = a \int f d x + b \int g d x

\int e^{x} d x = e^{x} + C \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Das lernst du

Kombiniere Linearität und Grundintegrale.
Integriere Potenzen mit n ≠ −1 und behandle 1/x separat.
Erkenne einfache Substitutionsmuster der Form f′(x)·g(f(x)).

Integrationsregeln

Integrationsregeln anwenden

Das lernst du

Polynom mit Linearität

1Gliedweise

2Vereinfachen

3Konstante

Rückwärts angewandte Kettenregel

1Innere Funktion

2Grundintegral

3Zurücksetzen

Potenzregel

Sonderfall

Kettenmuster

Linearität

Linearität und Wurzelpotenz

Innere Ableitung erkennen

Logarithmische Ableitung

Zwei Kettenmuster kombinieren

Integrationsregeln

Integrationsregeln anwenden

Das lernst du

Polynom mit Linearität

1Gliedweise

2Vereinfachen

3Konstante

Rückwärts angewandte Kettenregel

1Innere Funktion

2Grundintegral

3Zurücksetzen

Potenzregel

Sonderfall

Kettenmuster

Linearität

Linearität und Wurzelpotenz

Innere Ableitung erkennen

Logarithmische Ableitung

Zwei Kettenmuster kombinieren