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Kettenregel

Die Kettenregel verknüpft die Ableitung einer äusseren Funktion mit der Ableitung ihrer inneren Funktion.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Kettenregel

Bei einer Verkettung wird eine innere Funktion $u (x)$ in eine äussere Funktion eingesetzt. Abgeleitet wird «äussere Ableitung an der inneren Funktion mal innere Ableitung».

(f (u (x)))^{'} = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)

Erkenne zuerst die äusserste Rechenoperation. Lasse den inneren Term beim Ableiten der äusseren Funktion zunächst unverändert und multipliziere danach mit seiner Ableitung.

Das lernst du

Zerlege eine Verkettung in innere und äussere Funktion.
Wende die Kettenregel in der richtigen Reihenfolge an.
Kombiniere die Kettenregel mit Potenz-, Wurzel- und weiteren Regeln.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Potenz einer linearen Funktion

Leite $f (x) = (3 x - 1)^{5}$ ab.

1Innen und aussen
$u (x) = 3 x - 1 F (u) = u^{5}$
2Ableitungen
$u^{'} (x) = 3 F^{'} (u) = 5 u^{4}$
3Kettenregel
$f^{'} (x) = 5 (3 x - 1)^{4} \cdot 3 = 15 (3 x - 1)^{4}$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 15 (3 x - 1)^{4}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Wurzel einer quadratischen Funktion

Leite $g (x) = x^{2} + 4$ ab.

1Potenzschreibweise
$g (x) = (x^{2} + 4)^{\frac{1}{2}}$
2Äussere Ableitung
$\frac{1}{2} (x^{2} + 4)^{- \frac{1}{2}}$
3Innere Ableitung multiplizieren
$g^{'} (x) = \frac{1}{2} (x^{2} + 4)^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x = \frac{x}{x ^{2} + 4}$

Ergebnis

$g^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 4}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Lineare innere Funktion

In $f^{'} (x) = k (2 x + 3)^{3}$ für $f (x) = (2 x + 3)^{4}$ : Bestimme k.

Aufgabe 2

Einfach

Quadratische innere Funktion

Berechne $f^{'} (1)$ für $f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ .

Aufgabe 3

Einfach

Wurzelkette

Bestimme $g^{'} (0)$ für $g (x) = 4 x + 9$ .

Aufgabe 4

Einfach

Inneren Faktor erkennen

Welcher zusätzliche Faktor entsteht beim Ableiten von $sin (5 x)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Potenz einer linearen inneren Funktion

Leite $f (x) = (3 x - 1)^{4}$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

Wurzelfunktion mit innerer Gerade

Für $f (x) = 2 x + 1$ : Berechne $f^{'} (4)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Exponentialfunktion mit quadratischem Exponenten

Leite $f (x) = e^{x^{2} - 3 x}$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Logarithmus einer Sinusfunktion

Leite $f (x) = ln (sin x)$ im Intervall $0 < x < π$ ab.

Kettenregel

Bei einer Verkettung wird eine innere Funktion $u (x)$ in eine äussere Funktion eingesetzt. Abgeleitet wird «äussere Ableitung an der inneren Funktion mal innere Ableitung».

(f (u (x)))^{'} = f^{'} (u (x)) \cdot u^{'} (x)

Erkenne zuerst die äusserste Rechenoperation. Lasse den inneren Term beim Ableiten der äusseren Funktion zunächst unverändert und multipliziere danach mit seiner Ableitung.

Das lernst du

Zerlege eine Verkettung in innere und äussere Funktion.
Wende die Kettenregel in der richtigen Reihenfolge an.
Kombiniere die Kettenregel mit Potenz-, Wurzel- und weiteren Regeln.

Kettenregel

Kettenregel

Das lernst du

Potenz einer linearen Funktion

1Innen und aussen

2Ableitungen

3Kettenregel

Wurzel einer quadratischen Funktion

1Potenzschreibweise

2Äussere Ableitung

3Innere Ableitung multiplizieren

Lineare innere Funktion

Quadratische innere Funktion

Wurzelkette

Inneren Faktor erkennen

Potenz einer linearen inneren Funktion

Wurzelfunktion mit innerer Gerade

Exponentialfunktion mit quadratischem Exponenten

Logarithmus einer Sinusfunktion

Kettenregel

Kettenregel

Das lernst du

Potenz einer linearen Funktion

1Innen und aussen

2Ableitungen

3Kettenregel

Wurzel einer quadratischen Funktion

1Potenzschreibweise

2Äussere Ableitung

3Innere Ableitung multiplizieren

Lineare innere Funktion

Quadratische innere Funktion

Wurzelkette

Inneren Faktor erkennen

Potenz einer linearen inneren Funktion

Wurzelfunktion mit innerer Gerade

Exponentialfunktion mit quadratischem Exponenten

Logarithmus einer Sinusfunktion