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Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Raumvektoren liefert einen Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Mit dem Kreuzprodukt einen Normalenvektor erzeugen

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum liefert einen Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel.

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

Sein Betrag ist der Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms: $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ .

Das lernst du

Berechne Kreuzprodukte komponentenweise.
Prüfe den Ergebnisvektor mit zwei Skalarprodukten auf Orthogonalität.
Bestimme Parallelogramm- und Dreiecksflächen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Koordinatenachsen

Berechne $(1∣0∣0) \times (0∣1∣0)$ .

1Formel einsetzen
$0 \cdot 0 - 0 \cdot 1 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0$
2Komponenten berechnen
$001$
3Richtung prüfen
Der Ergebnisvektor zeigt nach der Rechte-Hand-Regel in positive z-Richtung.

Ergebnis

$(0∣0∣1)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Fläche eines Parallelogramms

Berechne die Fläche, die $a = (1∣2∣0)$ und $b = (3∣0∣0)$ aufspannen.

1Kreuzprodukt
$a \times b = (0∣0∣ - 6)$
2Betrag
$∣ a \times b ∣ = (- 6)^{2} = 6$
3Fläche deuten
Der Betrag des Kreuzprodukts ist die Parallelogrammfläche.

Ergebnis

$A = 6$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Basiseinheiten

Welche x-Komponente hat $(0∣1∣0) \times (0∣0∣1)$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Kreuzprodukt

Welche z-Komponente hat $(2∣0∣0) \times (0∣3∣0)$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Dreiecksfläche

Die Vektoren $(4∣0∣0)$ und $(0∣3∣0)$ spannen ein Dreieck auf. Wie gross ist seine Fläche?

Aufgabe 4

Einfach

Reihenfolge

Was geschieht beim Vertauschen der Faktoren?

Aufgabe 5

Mittel

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Berechne a × b für $a = (1∣2∣0)$ und $b = (0∣1∣3)$ .

a \times b

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Parallelogrammfläche

Berechne die Fläche des von $a = (2∣0∣0)$ und $b = (1∣3∣0)$ aufgespannten Parallelogramms.

A = ∣ a \times b ∣

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Dreiecksfläche im Raum

Bestimme die Fläche des Dreiecks $A (1∣0∣0)$ , $B (3∣1∣0)$ , $C (2∣0∣4)$ .

A_{△} = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Einheitsnormalenvektor

Bestimme einen Einheitsnormalenvektor zu $u = (1∣2∣1)$ und $v = (2∣1∣0)$ , dessen erste Komponente positiv ist.

n ∥ u \times v

Mit dem Kreuzprodukt einen Normalenvektor erzeugen

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum liefert einen Vektor, der auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht steht. Seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel.

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

Sein Betrag ist der Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms: $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin φ$ .

Das lernst du

Berechne Kreuzprodukte komponentenweise.
Prüfe den Ergebnisvektor mit zwei Skalarprodukten auf Orthogonalität.
Bestimme Parallelogramm- und Dreiecksflächen.

Kreuzprodukt

Mit dem Kreuzprodukt einen Normalenvektor erzeugen

Das lernst du

Koordinatenachsen

1Formel einsetzen

2Komponenten berechnen

3Richtung prüfen

Fläche eines Parallelogramms

1Kreuzprodukt

2Betrag

3Fläche deuten

Basiseinheiten

Kreuzprodukt

Dreiecksfläche

Reihenfolge

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Parallelogrammfläche

Dreiecksfläche im Raum

Einheitsnormalenvektor

Kreuzprodukt

Mit dem Kreuzprodukt einen Normalenvektor erzeugen

Das lernst du

Koordinatenachsen

1Formel einsetzen

2Komponenten berechnen

3Richtung prüfen

Fläche eines Parallelogramms

1Kreuzprodukt

2Betrag

3Fläche deuten

Basiseinheiten

Kreuzprodukt

Dreiecksfläche

Reihenfolge

Kreuzprodukt zweier Vektoren

Parallelogrammfläche

Dreiecksfläche im Raum

Einheitsnormalenvektor