Themenübersicht

Krümmung untersuchen

Die zweite Ableitung zeigt, ob ein Graph nach oben oder nach unten gekrümmt ist.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Krümmung mit der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung beschreibt, ob die Steigung f′ zunimmt oder abnimmt. Bei $f^{''} > 0$ ist der Graph nach oben gekrümmt (konvex), bei $f^{''} < 0$ nach unten gekrümmt (konkav).

f^{''} (x) > 0 : konvex f^{''} (x) < 0 : konkav

Nullstellen und Definitionslücken von f″ teilen die Definitionsmenge in Prüfintervalle. Ein Vorzeichenwechsel von f″ kennzeichnet eine Wendestelle.

Das lernst du

Berechne f″ und ihre kritischen Stellen.
Bestimme konvexe und konkave Krümmungsintervalle über das Vorzeichen von f″.
Erkenne Krümmungswechsel und grenze sie von blossen Nullstellen von f″ ab.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Mehrere Krümmungsintervalle

Untersuche $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ auf Krümmung.

1Zweite Ableitung
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 = 12 (x - 1) (x + 1)$
2Grenzstellen
$f^{''} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1, 1$
3Vorzeichen
$f^{''} > 0$ für $x < - 1$ und $x > 1$ ; $f^{''} < 0$ für $- 1 < x < 1$ .

Ergebnis

f ist auf $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$ konvex und auf $(- 1, 1)$ konkav.

Musteraufgabe 2

Mittel

Überall konvex

Untersuche $g (x) = e^{x}$ auf Krümmung.

1Ableitungen
$g^{'} (x) = e^{x} g^{''} (x) = e^{x}$
2Vorzeichen
$e^{x} > 0 f \overset{u}{¨} r alle x \in R$
3Folgerung
Die Steigung nimmt überall zu.

Ergebnis

Der Graph von $e^{x}$ ist auf ganz $R$ konvex und besitzt keinen Wendepunkt.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Parabelkrümmung

Welches Vorzeichen hat $f^{''}$ für $f (x) = - 3 x^{2} + 2 x$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Intervall bestimmen

Für $g^{''} (x) = x - 4$ : Ab welchem x-Wert ist g konvex?

Aufgabe 3

Einfach

Vorzeichen deuten

Was bedeutet $f^{''} (x) > 0$ auf einem Intervall?

Aufgabe 4

Einfach

Nullstelle von f″

Garantiert $f^{''} (x_{0}) = 0$ allein einen Krümmungswechsel?

Aufgabe 5

Mittel

Krümmung der kubischen Grundfunktion

Bestimme die Krümmungsintervalle von $f (x) = x^{3}$ . Verwende die Begriffe links- und rechtsgekrümmt.

Aufgabe 6

Mittel

Krümmung von x hoch vier

Welche Aussage zur Krümmung von $f (x) = x^{4}$ ist richtig?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Drei Krümmungsintervalle

Untersuche $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ auf Krümmung.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Globale Krümmung des Logarithmus

Untersuche $f (x) = l n$ x im gesamten Definitionsbereich auf Krümmung.

Krümmung mit der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung beschreibt, ob die Steigung f′ zunimmt oder abnimmt. Bei $f^{''} > 0$ ist der Graph nach oben gekrümmt (konvex), bei $f^{''} < 0$ nach unten gekrümmt (konkav).

f^{''} (x) > 0 : konvex f^{''} (x) < 0 : konkav

Nullstellen und Definitionslücken von f″ teilen die Definitionsmenge in Prüfintervalle. Ein Vorzeichenwechsel von f″ kennzeichnet eine Wendestelle.

Das lernst du

Berechne f″ und ihre kritischen Stellen.
Bestimme konvexe und konkave Krümmungsintervalle über das Vorzeichen von f″.
Erkenne Krümmungswechsel und grenze sie von blossen Nullstellen von f″ ab.

Krümmung untersuchen

Krümmung mit der zweiten Ableitung

Das lernst du

Mehrere Krümmungsintervalle

1Zweite Ableitung

2Grenzstellen

3Vorzeichen

Überall konvex

1Ableitungen

2Vorzeichen

3Folgerung

Parabelkrümmung

Intervall bestimmen

Vorzeichen deuten

Nullstelle von f″

Krümmung der kubischen Grundfunktion

Krümmung von x hoch vier

Drei Krümmungsintervalle

Globale Krümmung des Logarithmus

Krümmung untersuchen

Krümmung mit der zweiten Ableitung

Das lernst du

Mehrere Krümmungsintervalle

1Zweite Ableitung

2Grenzstellen

3Vorzeichen

Überall konvex

1Ableitungen

2Vorzeichen

3Folgerung

Parabelkrümmung

Intervall bestimmen

Vorzeichen deuten

Nullstelle von f″

Krümmung der kubischen Grundfunktion

Krümmung von x hoch vier

Drei Krümmungsintervalle

Globale Krümmung des Logarithmus