Themenübersicht

Kumulative Wahrscheinlichkeit

Kumulative Wahrscheinlichkeiten fassen alle Ergebnisse bis zu einer vorgegebenen Grenze zusammen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten sicher übersetzen

Eine kumulative Wahrscheinlichkeit addiert Einzelwahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze. Übersetze die sprachliche Bedingung zuerst exakt in eine Ungleichung für X.

P (X \leq k) = i = 0 \sum k P (X = i)

Für «mindestens k» ist das Gegenereignis meist kürzer: $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .

Das lernst du

Übersetze höchstens, weniger als, mindestens und mehr als.
Summiere passende Einzelwahrscheinlichkeiten.
Nutze Gegenereignisse für obere Bereiche.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Mindestens zwei Treffer

Für $X \sim B (4, 0, 5)$ : Bestimme $P (X \geq 2)$ .

1Gegenereignis
$P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1)$
2Einzelwerte
$P (X = 0) + P (X = 1) = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$
3Ergänzen
$1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16} = 0, 6875$

Ergebnis

$P (X \geq 2) = 0, 6875$

Musteraufgabe 2

Mittel

Mindestens ein Erfolg per Gegenereignis

Für X~ $B (4; 0, 25)$ berechne $P (X \geq 1)$ .

Visualisierung zur Aufgabenstruktur

1Signalwort übersetzen
Das Gegenereignis zu mindestens einem Erfolg ist kein Erfolg.
$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$
2Nulltreffer berechnen
Viermal muss eine Niete mit Wahrscheinlichkeit $0, 75$ eintreten.
$1 - 0, 7 5^{4} = 0, 68359375$

Ergebnis

$P (X \geq 1)$ ≈ $0, 68359$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Höchstens eins

Eine faire Münze wird dreimal geworfen. X zählt Kopf. Bestimme $P (X \leq 1)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Mindestens eins

Für $X \sim B (2, 0, 3)$ : Bestimme $P (X \geq 1)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Weniger als

Welche Ungleichung bedeutet «weniger als $5$ Treffer»?

Aufgabe 4

Einfach

Gegenereignis

Was ist das Gegenereignis zu $X \geq 7$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Höchstens ein Treffer

Für X~ $B (5; 0, 4)$ berechne $P (X \leq 1)$ .

Aufgabe 6

Mittel

Mindestens ein Treffer

Für X~ $B (6; 0, 2)$ berechne $P (X \geq 1)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Mittlerer Bereich über das Gegenereignis

Für X~ $B (8; 0, 5)$ berechne $P (2 \leq X \leq 6)$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Kleinste Schwelle für 90 %

Es gilt X~ $B (5; 0, 5)$ . Bestimme die kleinste ganze Zahl k, für die $P (X \leq k)$ ≥ $0, 90$ gilt.

Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten sicher übersetzen

Eine kumulative Wahrscheinlichkeit addiert Einzelwahrscheinlichkeiten bis zu einer Grenze. Übersetze die sprachliche Bedingung zuerst exakt in eine Ungleichung für X.

P (X \leq k) = i = 0 \sum k P (X = i)

Für «mindestens k» ist das Gegenereignis meist kürzer: $P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)$ .

Das lernst du

Übersetze höchstens, weniger als, mindestens und mehr als.
Summiere passende Einzelwahrscheinlichkeiten.
Nutze Gegenereignisse für obere Bereiche.

Kumulative Wahrscheinlichkeit

Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten sicher übersetzen

Das lernst du

Mindestens zwei Treffer

1Gegenereignis

2Einzelwerte

3Ergänzen

Mindestens ein Erfolg per Gegenereignis

1Signalwort übersetzen

2Nulltreffer berechnen

Höchstens eins

Mindestens eins

Weniger als

Gegenereignis

Höchstens ein Treffer

Mindestens ein Treffer

Mittlerer Bereich über das Gegenereignis

Kleinste Schwelle für 90 %

Kumulative Wahrscheinlichkeit

Kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten sicher übersetzen

Das lernst du

Mindestens zwei Treffer

1Gegenereignis

2Einzelwerte

3Ergänzen

Mindestens ein Erfolg per Gegenereignis

1Signalwort übersetzen

2Nulltreffer berechnen

Höchstens eins

Mindestens eins

Weniger als

Gegenereignis

Höchstens ein Treffer

Mindestens ein Treffer

Mittlerer Bereich über das Gegenereignis

Kleinste Schwelle für 90 %