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Linearkombination

Linearkombinationen erzeugen neue Vektoren durch das Addieren skalierter Ausgangsvektoren.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Vektoren als Linearkombination darstellen

Eine Linearkombination entsteht, wenn Vektoren mit Zahlen multipliziert und anschliessend addiert werden. Die Zahlen heissen Koeffizienten.

v = λ a + μ b

Ob eine Darstellung möglich ist, entscheidest du durch komponentenweises Vergleichen. So entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten.

Das lernst du

Berechne vorgegebene Linearkombinationen.
Bestimme unbekannte Koeffizienten durch Komponentenvergleich.
Entscheide, ob ein Vektor im Spann gegebener Vektoren liegt.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Koeffizienten einsetzen

Berechne $2 a - 3 b$ für $a = (1∣2∣0)$ und $b = (- 1∣1∣4)$ .

1Skalieren
$2 a = (2∣4∣0) - 3 b = (3∣ - 3∣ - 12)$
2Addieren
$(2∣4∣0) + (3∣ - 3∣ - 12)$
3Resultat
$2 a - 3 b = (5∣1∣ - 12)$

Ergebnis

$(5∣1∣ - 12)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Darstellung finden

Stelle $v = (7∣1)$ als $λ (1∣1) + μ (2∣ - 1)$ dar.

1Komponenten vergleichen
$λ + 2 μ = 7 λ - μ = 1$
2Gleichungssystem lösen
Aus der zweiten Gleichung folgt $λ = 1 + μ$ . Eingesetzt ergibt das $1 + 3 μ = 7$ .
3Koeffizienten
$μ = 2 λ = 3$

Ergebnis

v = 3 (1∣1) + 2 (2∣ - 1)

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Kombination berechnen

Welche x-Komponente hat $3 (2∣ - 1) + 2 (- 4∣5)$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Zweite Komponente

Welche y-Komponente hat $- 2 (1∣3∣2) + (4∣ - 1∣0)$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Koeffizient bestimmen

Es gilt $(8∣12) = λ (2∣3)$ . Bestimme $λ$ .

Aufgabe 4

Einfach

Im Spann?

Liegt $(3∣6)$ im Spann von $(1∣2)$ ?

Aufgabe 5

Mittel