Themenübersicht

Logarithmengesetze

Logarithmengesetze verwandeln Produkte, Quotienten und Potenzen in einfacher berechenbare Summen, Differenzen und Faktoren.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Logarithmengesetze

Logarithmengesetze übersetzen Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Faktoren. Alle Logarithmen müssen dieselbe Basis besitzen und ihre Argumente müssen positiv sein.

lo g_{b} (uv) = lo g_{b} u + lo g_{b} v

lo g_{b} (\frac{u}{v}) = lo g_{b} u - lo g_{b} v lo g_{b} (u^{r}) = r lo g_{b} u

Das lernst du

Zerlege Logarithmen von Produkten, Quotienten und Potenzen.
Fasse Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
Nutze Definitionsbedingungen beim Lösen logarithmischer Gleichungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Einen Logarithmus zerlegen

Zerlege $ln (\frac{3 x ^{2}}{y})$ für $x > 0$ und $y > 0$ .

1Quotient
$ln (3 x^{2}) - ln y$
2Produkt
$ln 3 + ln (x^{2}) - ln y$
3Potenz
$ln 3 + 2 ln x - ln y$

Ergebnis

$ln (\frac{3 x ^{2}}{y}) = ln 3 + 2 ln x - ln y$

Musteraufgabe 2

Mittel

Logarithmen zusammenfassen

Fasse $2 lo g x - lo g (x - 1)$ zu einem Logarithmus zusammen.

1Faktor als Exponent
$2 lo g x = lo g (x^{2})$
2Differenz als Quotient
$lo g (x^{2}) - lo g (x - 1) = lo g (\frac{x ^{2}}{x - 1})$
3Definitionsbedingung
Beide ursprünglichen Argumente sind positiv, also $x > 1$ .

Ergebnis

$lo g (\frac{x ^{2}}{x - 1})$ für $x > 1$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Produktgesetz anwenden

Berechne $lo g_{2} (8) + lo g_{2} (4)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Potenzgesetz

Welcher Faktor steht vor $ln a$ , wenn $ln (a^{3} b)$ vollständig zerlegt wird?

Aufgabe 3

Einfach

Zusammenfassen

Welche Form ist gleichbedeutend mit $ln x - ln y$ für $x, y > 0$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Logarithmische Gleichung

Löse $lo g_{10} x + lo g_{10} (x - 9) = 1$ .

Aufgabe 5

Mittel

Summe von Logarithmen zusammenfassen

Fasse den dargestellten Ausdruck zu einem Logarithmus zusammen. Es gilt x > $0$ .

ln x + ln 3

Aufgabe 6

Mittel

Quotient und Potenz auflösen

Schreibe den dargestellten Ausdruck als Summe beziehungsweise Differenz einzelner Logarithmen. Es gilt a > $0$ und b > $0$ .

ln (\frac{a ^{2}}{b})

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Drei Logarithmen und Definitionsprüfung

Löse die Gleichung exakt.

ln (x - 1) + ln (x + 1) - ln x = ln 6

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Komplexen Logarithmusterm verdichten

Fasse den dargestellten Ausdruck für x > $0$ zu einem einzigen Logarithmus zusammen.

2 ln x - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1)

Logarithmengesetze

Logarithmengesetze übersetzen Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Faktoren. Alle Logarithmen müssen dieselbe Basis besitzen und ihre Argumente müssen positiv sein.

lo g_{b} (uv) = lo g_{b} u + lo g_{b} v

lo g_{b} (\frac{u}{v}) = lo g_{b} u - lo g_{b} v lo g_{b} (u^{r}) = r lo g_{b} u

Das lernst du

Zerlege Logarithmen von Produkten, Quotienten und Potenzen.
Fasse Summen und Differenzen von Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.
Nutze Definitionsbedingungen beim Lösen logarithmischer Gleichungen.

Logarithmengesetze

Logarithmengesetze

Das lernst du

Einen Logarithmus zerlegen

1Quotient

2Produkt

3Potenz

Logarithmen zusammenfassen

1Faktor als Exponent

2Differenz als Quotient

3Definitionsbedingung

Produktgesetz anwenden

Potenzgesetz

Zusammenfassen

Logarithmische Gleichung

Summe von Logarithmen zusammenfassen

Quotient und Potenz auflösen

Drei Logarithmen und Definitionsprüfung

Komplexen Logarithmusterm verdichten

Logarithmengesetze

Logarithmengesetze

Das lernst du

Einen Logarithmus zerlegen

1Quotient

2Produkt

3Potenz

Logarithmen zusammenfassen

1Faktor als Exponent

2Differenz als Quotient

3Definitionsbedingung

Produktgesetz anwenden

Potenzgesetz

Zusammenfassen

Logarithmische Gleichung

Summe von Logarithmen zusammenfassen

Quotient und Potenz auflösen

Drei Logarithmen und Definitionsprüfung

Komplexen Logarithmusterm verdichten