Themenübersicht

Logarithmus ableiten

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Logarithmusfunktionen ableiten

Der natürliche Logarithmus hat auf $x > 0$ die Ableitung $\frac{1}{x}$ . Bei einem zusammengesetzten Argument wird die Kettenregel besonders kompakt: innere Ableitung geteilt durch innere Funktion.

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (ln (u (x)))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

Für eine andere Basis gilt $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}$ . Definitionsbedingungen des ursprünglichen Logarithmus bleiben immer bestehen.

Das lernst du

Leite ln(x) und Logarithmen anderer Basen ab.
Wende die Kettenregel auf ln(u(x)) an.
Kombiniere Logarithmus- und Produktregel unter Beachtung der Definitionsmenge.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Logarithmus einer quadratischen Funktion

Leite $f (x) = ln (x^{2} + 1)$ ab.

1Innere Funktion
$u = x^{2} + 1 u^{'} = 2 x$
2Logarithmusregel
$f^{'} (x) = \frac{u ^{'}}{u}$
3Einsetzen
$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

Ergebnis

$f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Produkt x ln(x)

Leite $g (x) = x ln x$ für $x > 0$ ab.

1Faktoren
$u = x, u^{'} = 1 v = ln x, v^{'} = \frac{1}{x}$
2Produktregel
$g^{'} (x) = 1 \cdot ln x + x \cdot \frac{1}{x}$
3Vereinfachen
$g^{'} (x) = ln x + 1$

Ergebnis

$g^{'} (x) = ln x + 1$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Lineares Argument

Berechne $f^{'} (1)$ für $f (x) = ln (3 x - 1)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Logarithmus zur Basis 2

Berechne $f^{'} (1)$ für $f (x) = lo g_{2} x$ auf drei Dezimalstellen.

Aufgabe 3

Einfach

Logarithmus einer Wurzel

Berechne $g^{'} (2)$ für $g (x) = ln (x)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Definitionsbedingung

Auf welchem Bereich gilt die reelle Ableitung $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Natürlichen Logarithmus ableiten

Leite $f (x) = ln x$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

Logarithmus einer linearen Funktion

Leite $f (x) = ln (2 x + 3)$ ab.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Produkt x ln x

Leite $f (x) = x ln x$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Logarithmus eines Quotienten

Leite $f (x) = ln (\frac{x ^{2} + 1}{x - 1})$ in ihrem reellen Definitionsbereich ab.

Logarithmusfunktionen ableiten

Der natürliche Logarithmus hat auf $x > 0$ die Ableitung $\frac{1}{x}$ . Bei einem zusammengesetzten Argument wird die Kettenregel besonders kompakt: innere Ableitung geteilt durch innere Funktion.

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} (ln (u (x)))^{'} = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

Für eine andere Basis gilt $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a}$ . Definitionsbedingungen des ursprünglichen Logarithmus bleiben immer bestehen.

Das lernst du

Leite ln(x) und Logarithmen anderer Basen ab.
Wende die Kettenregel auf ln(u(x)) an.
Kombiniere Logarithmus- und Produktregel unter Beachtung der Definitionsmenge.

Logarithmus ableiten

Logarithmusfunktionen ableiten

Das lernst du

Logarithmus einer quadratischen Funktion

1Innere Funktion

2Logarithmusregel

3Einsetzen

Produkt x ln(x)

1Faktoren

2Produktregel

3Vereinfachen

Lineares Argument

Logarithmus zur Basis 2

Logarithmus einer Wurzel

Definitionsbedingung

Natürlichen Logarithmus ableiten

Logarithmus einer linearen Funktion

Produkt x ln x

Logarithmus eines Quotienten

Logarithmus ableiten

Logarithmusfunktionen ableiten

Das lernst du

Logarithmus einer quadratischen Funktion

1Innere Funktion

2Logarithmusregel

3Einsetzen

Produkt x ln(x)

1Faktoren

2Produktregel

3Vereinfachen

Lineares Argument

Logarithmus zur Basis 2

Logarithmus einer Wurzel

Definitionsbedingung

Natürlichen Logarithmus ableiten

Logarithmus einer linearen Funktion

Produkt x ln x

Logarithmus eines Quotienten