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Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen kehren Exponentialfunktionen um und bestimmen, zu welcher Potenz eine Basis erhoben werden muss.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen

Der Logarithmus beantwortet die Frage, zu welchem Exponenten eine positive Basis potenziert werden muss. Er ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.

lo g_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x b > 0, b \neq = 1 x > 0

Der Graph von $y = lo g_{b} (x)$ entsteht durch Spiegelung von $y = b^{x}$ an $y = x$ . Er verläuft durch $(1 ∣ 0)$ und besitzt die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Das lernst du

Wechsle sicher zwischen Logarithmus- und Exponentialschreibweise.
Bestimme Definitionsmenge, markante Punkte und Asymptote einer Logarithmusfunktion.
Berechne Logarithmuswerte und löse einfache logarithmische Gleichungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Logarithmuswert bestimmen

Berechne $lo g_{2} (32)$ .

1Exponentialfrage stellen
Gesucht ist der Exponent y mit $2^{y} = 32$ .
232 als Potenz schreiben
$32 = 2^{5}$
3Exponent ablesen
$lo g_{2} (32) = 5$

Ergebnis

$lo g_{2} (32) = 5$

Musteraufgabe 2

Mittel

Verschobene Logarithmusgleichung

Löse $lo g_{3} (x - 1) = 2$ .

1Definitionsbedingung
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
2In Exponentialform
$x - 1 = 3^{2}$
3Nach x auflösen
$x = 10$

Ergebnis

$x = 10$ erfüllt die Definitionsbedingung.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Logarithmus einer Wurzelpotenz

Berechne $lo g_{2} (8)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Potenzen zur Basis e bündeln

Berechne exakt $ln (e^{- 3} e)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Definitionsmenge eines Logarithmusquotienten

Welche Definitionsmenge besitzt $f (x) = ln (\frac{x - 1}{x + 2})$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Logarithmische Gleichung mit Definitionsprüfung

Löse $lo g_{3} (x - 1) + lo g_{3} (x + 1) = 2$ .

Aufgabe 5

Mittel

Logarithmen mit verschiedenen Basen

Löse die Gleichung im positiven Definitionsbereich.

lo g_{2} x + lo g_{4} x = 6

Aufgabe 6

Mittel

Logarithmische Quotientengleichung

Löse die Gleichung unter Beachtung des Definitionsbereichs.

lo g_{2} (x - 1) - lo g_{2} (x - 3) = 2

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Variable Basis und Kehrwertbeziehung

Bestimme alle reellen Lösungen im zulässigen Definitionsbereich.

lo g_{2} x + lo g_{x} 2 = \frac{5}{2}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Tangentiale Nullstelle einer Parameterschar

Bestimme den positiven Parameter a so, dass der Graph die x-Achse in einem stationären Punkt berührt.

f_{a} (x) = ln x + \frac{a}{x} x > 0

Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen

Der Logarithmus beantwortet die Frage, zu welchem Exponenten eine positive Basis potenziert werden muss. Er ist die Umkehrung der Exponentialfunktion.

lo g_{b} (x) = y ⟺ b^{y} = x b > 0, b \neq = 1 x > 0

Der Graph von $y = lo g_{b} (x)$ entsteht durch Spiegelung von $y = b^{x}$ an $y = x$ . Er verläuft durch $(1 ∣ 0)$ und besitzt die senkrechte Asymptote $x = 0$ .

Das lernst du

Wechsle sicher zwischen Logarithmus- und Exponentialschreibweise.
Bestimme Definitionsmenge, markante Punkte und Asymptote einer Logarithmusfunktion.
Berechne Logarithmuswerte und löse einfache logarithmische Gleichungen.

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen

Das lernst du

Logarithmuswert bestimmen

1Exponentialfrage stellen

232 als Potenz schreiben

3Exponent ablesen

Verschobene Logarithmusgleichung

1Definitionsbedingung

2In Exponentialform

3Nach x auflösen

Logarithmus einer Wurzelpotenz

Potenzen zur Basis e bündeln

Definitionsmenge eines Logarithmusquotienten

Logarithmische Gleichung mit Definitionsprüfung

Logarithmen mit verschiedenen Basen

Logarithmische Quotientengleichung

Variable Basis und Kehrwertbeziehung

Tangentiale Nullstelle einer Parameterschar

Logarithmusfunktionen

Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen

Das lernst du

Logarithmuswert bestimmen

1Exponentialfrage stellen

232 als Potenz schreiben

3Exponent ablesen

Verschobene Logarithmusgleichung

1Definitionsbedingung

2In Exponentialform

3Nach x auflösen

Logarithmus einer Wurzelpotenz

Potenzen zur Basis e bündeln

Definitionsmenge eines Logarithmusquotienten

Logarithmische Gleichung mit Definitionsprüfung

Logarithmen mit verschiedenen Basen

Logarithmische Quotientengleichung

Variable Basis und Kehrwertbeziehung

Tangentiale Nullstelle einer Parameterschar