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Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert einer Funktion gibt die konstante Höhe an, die im Intervall dieselbe Fläche erzeugen würde.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Mittelwert einer Funktion

Der Funktionsmittelwert verteilt das orientierte Integral gleichmässig über die Intervalllänge.

\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Geometrisch hat das Rechteck mit Breite $b - a$ und Höhe $\overline{f}$ denselben orientierten Flächeninhalt wie der Graph im Intervall.

Das lernst du

Berechne den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall.
Deute den Mittelwert als Höhe eines flächengleichen Rechtecks.
Unterscheide Funktionsmittelwert von einem einzelnen Funktionswert.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratische Funktion

Bestimme den Mittelwert von $f (x) = x^{2}$ auf [ $0, 3$ ].

1Integral
$\int_{0}^{3} x^{2} d x = 9$
2Intervalllänge
$3 - 0 = 3$
3Mittelwert
$\overline{f} = \frac{9}{3} = 3$

Ergebnis

$\overline{f} = 3$

Musteraufgabe 2

Mittel

Mittlere Temperatur

Ein Modell lautet $T (t) = 10 + 2 t$ für $0$ ≤ t ≤ $4$ Stunden. Bestimme die mittlere Temperatur.

1Integral
$\int_{0}^{4} (10 + 2 t) d t = [10 t + t^{2}]_{0}^{4} = 56$
2Zeitlänge
$4 h$
3Mittel
$\overline{T} = \frac{56}{4} = 14^{\circ} C$

Ergebnis

$14^{\circ} C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Konstante Funktion

Bestimme den Mittelwert von $f (x) = 7$ auf [ $2, 10$ ].

Aufgabe 2

Einfach

Lineare Funktion

Bestimme den Mittelwert von $f (x) = x$ auf [ $0, 6$ ].

Aufgabe 3

Einfach

Quadratischer Mittelwert

Bestimme den Mittelwert von $f (x) = 3 x^{2}$ auf [ $0, 2$ ].

Aufgabe 4

Einfach

Nenner der Formel

Welcher Nenner steht in der Mittelwertformel auf [a,b]?

Aufgabe 5

Mittel

Mittelwert einer linearen Funktion

Bestimme den Funktionsmittelwert von $f (x) = 2 x + 1$ auf [ $1, 4$ ].

\overline{f} = \frac{1}{4 - 1} \int_{1}^{4} (2 x + 1) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Mittelwert einer Exponentialfunktion

Bestimme den exakten Mittelwert von $f (x) = e^{x}$ auf [ $0$ , ln $4$ ].

\overline{f} = \frac{1}{ln 4} \int_{0}^{l n 4} e^{x} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Parameter aus dem Mittelwert

Bestimme c so, dass $f (x) = x^{2} + c x$ auf [ $0, 3$ ] den Mittelwert $6$ hat.

\frac{1}{3} \int_{0}^{3} (x^{2} + c x) d x = 6

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Trigonometrischer Mittelwert

Bestimme den Mittelwert von $s in (x)$ auf [ $0$ ,π].

\overline{f} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin x d x

Mittelwert einer Funktion

Der Funktionsmittelwert verteilt das orientierte Integral gleichmässig über die Intervalllänge.

\overline{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

Geometrisch hat das Rechteck mit Breite $b - a$ und Höhe $\overline{f}$ denselben orientierten Flächeninhalt wie der Graph im Intervall.

Das lernst du

Berechne den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall.
Deute den Mittelwert als Höhe eines flächengleichen Rechtecks.
Unterscheide Funktionsmittelwert von einem einzelnen Funktionswert.

Mittelwert einer Funktion

Mittelwert einer Funktion

Das lernst du

Quadratische Funktion

1Integral

2Intervalllänge

3Mittelwert

Mittlere Temperatur

1Integral

2Zeitlänge

3Mittel

Konstante Funktion

Lineare Funktion

Quadratischer Mittelwert

Nenner der Formel

Mittelwert einer linearen Funktion

Mittelwert einer Exponentialfunktion

Parameter aus dem Mittelwert

Trigonometrischer Mittelwert

Mittelwert einer Funktion

Mittelwert einer Funktion

Das lernst du

Quadratische Funktion

1Integral

2Intervalllänge

3Mittelwert

Mittlere Temperatur

1Integral

2Zeitlänge

3Mittel

Konstante Funktion

Lineare Funktion

Quadratischer Mittelwert

Nenner der Formel

Mittelwert einer linearen Funktion

Mittelwert einer Exponentialfunktion

Parameter aus dem Mittelwert

Trigonometrischer Mittelwert