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Monotonie untersuchen

Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt, in welchen Bereichen ein Graph steigt oder fällt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Monotonie mit der ersten Ableitung

Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt, wo ein Funktionsgraph steigt oder fällt. Mögliche Intervallgrenzen sind Nullstellen von $f^{'}$ sowie Stellen, an denen f oder f′ nicht definiert ist.

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f streng monoton steigend f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f streng monoton fallend

Bestimme die kritischen Stellen, teile die Definitionsmenge in Intervalle und prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f^{'}$ .

Das lernst du

Bestimme kritische Stellen aus f′(x) = 0 und der Definitionsmenge.
Erstelle eine Vorzeichentabelle für f′.
Gib maximale Monotonieintervalle mit korrekten Grenzen an.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Kubische Funktion

Untersuche $f (x) = x^{3} - 3 x$ auf Monotonie.

1Ableitung und kritische Stellen
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1, 1$
2Vorzeichen
$x f^{'} (x) (- \infty, - 1) + - 1 0 (- 1, 1) - 10 (1, \infty) +$
3Intervalle deuten
Positiv bedeutet steigend, negativ fallend.

Ergebnis

f steigt auf $(- \infty, - 1)$ und $(1, \infty)$ ; sie fällt auf $(- 1, 1)$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Parabel

Untersuche $g (x) = x^{2} + 4 x + 1$ auf Monotonie.

1Ableiten
$g^{'} (x) = 2 x + 4$
2Grenzstelle
$2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 2$
3Vorzeichen
$x < - 2 : g^{'} (x) < 0 x > - 2 : g^{'} (x) > 0$

Ergebnis

g fällt auf $(- \infty, - 2)$ und steigt auf $(- 2, \infty)$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Parabel untersuchen

Bei welchem x-Wert wechselt $f (x) = x^{2} - 6 x$ von fallend zu steigend?

Aufgabe 2

Einfach

Vorzeichenbereich

Für $g (x) = x^{3}$ gilt $g^{'} (x) = 3 x^{2}$ . Auf wie vielen getrennten offenen Intervallen ist g′ positiv?

Aufgabe 3

Einfach

Ableitung deuten

Auf einem Intervall gilt überall $f^{'} (x) < 0$ . Welche Aussage stimmt?

Aufgabe 4

Einfach

Kein Vorzeichenwechsel

Es gilt $f^{'} (x) = x^{2}$ . Wechselt das Monotonieverhalten bei $x = 0$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Monotonie einer verschobenen Parabel

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle von $f (x) = x^{2} - 4 x$ .

Aufgabe 6

Mittel

Monotonie einer kubischen Funktion

Untersuche $f (x) = x^{3} - 3 x$ auf Monotonie und gib alle maximalen Intervalle an.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Vier Monotonieintervalle

Untersuche $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ vollständig auf Monotonie.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Monotonie mit Definitionslücke

Bestimme die maximalen Monotonieintervalle von $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

Monotonie mit der ersten Ableitung

Das Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt, wo ein Funktionsgraph steigt oder fällt. Mögliche Intervallgrenzen sind Nullstellen von $f^{'}$ sowie Stellen, an denen f oder f′ nicht definiert ist.

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f streng monoton steigend f^{'} (x) < 0 \Rightarrow f streng monoton fallend

Bestimme die kritischen Stellen, teile die Definitionsmenge in Intervalle und prüfe in jedem Intervall das Vorzeichen von $f^{'}$ .

Das lernst du

Bestimme kritische Stellen aus f′(x) = 0 und der Definitionsmenge.
Erstelle eine Vorzeichentabelle für f′.
Gib maximale Monotonieintervalle mit korrekten Grenzen an.

Monotonie untersuchen

Monotonie mit der ersten Ableitung

Das lernst du

Kubische Funktion

1Ableitung und kritische Stellen

2Vorzeichen

3Intervalle deuten

Parabel

1Ableiten

2Grenzstelle

3Vorzeichen

Parabel untersuchen

Vorzeichenbereich

Ableitung deuten

Kein Vorzeichenwechsel

Monotonie einer verschobenen Parabel

Monotonie einer kubischen Funktion

Vier Monotonieintervalle

Monotonie mit Definitionslücke

Monotonie untersuchen

Monotonie mit der ersten Ableitung

Das lernst du

Kubische Funktion

1Ableitung und kritische Stellen

2Vorzeichen

3Intervalle deuten

Parabel

1Ableiten

2Grenzstelle

3Vorzeichen

Parabel untersuchen

Vorzeichenbereich

Ableitung deuten

Kein Vorzeichenwechsel

Monotonie einer verschobenen Parabel

Monotonie einer kubischen Funktion

Vier Monotonieintervalle

Monotonie mit Definitionslücke