Themenübersicht

Normalverteilung

Die Normalverteilung modelliert viele natürliche Messwerte als glockenförmige Verteilung um einen Mittelwert.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Normalverteilte Grössen modellieren

Eine Normalverteilung ist eine stetige, symmetrische Glockenkurve. Der Mittelwert μ legt das Zentrum fest, die Standardabweichung σ ihre Breite.

X \sim N (μ, σ^{2})

Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve. Für einen einzelnen exakten Wert gilt bei stetigen Verteilungen $P (X = x) = 0$ .

Das lernst du

Lies Mittelwert und Standardabweichung aus der Modellangabe.
Nutze Symmetrie der Glockenkurve.
Deute Intervallwahrscheinlichkeiten als Flächen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Symmetrie am Mittelwert

Es gilt $X \sim N (50, 8^{2})$ . Bestimme $P (X \leq 50)$ .

1Zentrum erkennen
$μ = 50$
2Symmetrie
Die Dichte ist links und rechts von μ spiegelbildlich.
3Fläche halbieren
$P (X \leq μ) = 0, 5$

Ergebnis

$P (X \leq 50) = 0, 5$

Musteraufgabe 2

Mittel

Symmetrische Grenzen

Für dieselbe Verteilung gilt $P (X \leq 42) = 0, 1587$ . Bestimme $P (X \geq 58)$ .

1Abstände
$50 - 42 = 58 - 50 = 8$
2Spiegelung
$P (X \geq 58) = P (X \leq 42)$
3Resultat
$P (X \geq 58) = 0, 1587$

Ergebnis

$15, 87%$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Am Mittelwert

Für eine normalverteilte Variable: Bestimme $P (X \leq μ)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Standardabweichung

Es gilt $X \sim N (20, 3^{2})$ . Gib σ an.

Aufgabe 3

Einfach

Komplement

Es gilt $P (X \leq a) = 0, 82$ . Bestimme $P (X > a)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Punktwahrscheinlichkeit

Wie gross ist bei einer stetigen Normalverteilung $P (X = 12)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Hälfte rechts vom Mittelwert

Die stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit Mittelwert μ= $42$ . Bestimme $P (X > 42)$ .

Aufgabe 6

Mittel

Symmetrischer Ein-Sigma-Bereich

Für X~ $N (50; 1 2^{2})$ ist $Φ (1) = 0$ , $8413$ gegeben. Berechne $P (38 \leq X \leq 62)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Grenze zu einer vorgegebenen Randwahrscheinlichkeit

Es gilt X~ $N (50; 8^{2})$ . Für die Standardnormalverteilung ist Φ( $1$ , $5) = 0$ , $9332$ gegeben. Bestimme die Zahl a mit $P (X > a) = 0$ , $0668$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Fläche außerhalb von 1,5 Sigma

Es gilt X~ $N (μ; σ^{2})$ . Gegeben ist Φ( $1$ , $5) = 0$ , $9332$ . Berechne $P (∣ X - μ ∣ > 1, 5 σ)$ .

Normalverteilte Grössen modellieren

Eine Normalverteilung ist eine stetige, symmetrische Glockenkurve. Der Mittelwert μ legt das Zentrum fest, die Standardabweichung σ ihre Breite.

X \sim N (μ, σ^{2})

Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve. Für einen einzelnen exakten Wert gilt bei stetigen Verteilungen $P (X = x) = 0$ .

Das lernst du

Lies Mittelwert und Standardabweichung aus der Modellangabe.
Nutze Symmetrie der Glockenkurve.
Deute Intervallwahrscheinlichkeiten als Flächen.

Normalverteilung

Normalverteilte Grössen modellieren

Das lernst du

Symmetrie am Mittelwert

1Zentrum erkennen

2Symmetrie

3Fläche halbieren

Symmetrische Grenzen

1Abstände

2Spiegelung

3Resultat

Am Mittelwert

Standardabweichung

Komplement

Punktwahrscheinlichkeit

Hälfte rechts vom Mittelwert

Symmetrischer Ein-Sigma-Bereich

Grenze zu einer vorgegebenen Randwahrscheinlichkeit

Fläche außerhalb von 1,5 Sigma

Normalverteilung

Normalverteilte Grössen modellieren

Das lernst du

Symmetrie am Mittelwert

1Zentrum erkennen

2Symmetrie

3Fläche halbieren

Symmetrische Grenzen

1Abstände

2Spiegelung

3Resultat

Am Mittelwert

Standardabweichung

Komplement

Punktwahrscheinlichkeit

Hälfte rechts vom Mittelwert

Symmetrischer Ein-Sigma-Bereich

Grenze zu einer vorgegebenen Randwahrscheinlichkeit

Fläche außerhalb von 1,5 Sigma