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Nullstellen berechnen

Nullstellen sind die x-Werte, an denen ein Graph die x-Achse schneidet und der Funktionswert null ist.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Nullstellen berechnen

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Algebraisch setzt du den Funktionsterm gleich null.

f (x_{0}) = 0 ⟺ N (x_{0} ∣ 0)

Wähle die Lösungsmethode passend zum Term: ausklammern und Produktgleichung, faktorisieren, quadratische Lösungsformel oder eine geeignete Substitution.

Das lernst du

Formuliere die Nullstellengleichung f(x) = 0.
Löse lineare, quadratische und faktorisierbare polynomiale Gleichungen.
Prüfe Anzahl, Lage und Vielfachheit reeller Nullstellen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Durch Ausklammern und Faktorisieren

Bestimme die Nullstellen von $f (x) = x^{3} - 4 x$ .

1x ausklammern
$x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4)$
2Differenz von Quadraten
$x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2)$
3Faktoren null setzen
$x = 0 oder x - 2 = 0 oder x + 2 = 0$

Ergebnis

Die Nullstellen sind $x = - 2, 0, 2$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Quadratische Gleichung

Bestimme die Nullstellen von $g (x) = 2 x^{2} + 3 x - 2$ .

1Koeffizienten
$a = 2 b = 3 c = - 2$
2Lösungsformel
$x = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 \pm 5}{4}$
3Beide Lösungen
$x_{1} = \frac{1}{2} x_{2} = - 2$

Ergebnis

Der Graph schneidet die x-Achse bei $(\frac{1}{2} 0)$ und $(- 2 ∣ 0)$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Lineare Nullstelle

Bestimme die Nullstelle von $f (x) = 3 x - 12$ .

Aufgabe 2

Einfach

Produktgleichung

Bestimme die positive Nullstelle von $g (x) = x (x - 7)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Doppelte Nullstelle

Welche Nullstelle hat $h (x) = x^{2} - 6 x + 9$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Reelle Nullstellen prüfen

Wie viele reelle Nullstellen besitzt $p (x) = x^{2} + 4 x + 8$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Größere Nullstelle einer Parabel

Bestimme die größere Nullstelle der Funktion $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ .

Aufgabe 6

Mittel

Drei Nullstellen durch Ausklammern

Bestimme alle Nullstellen von $f (x) = x^{3} - 4 x$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Biquadratische Gleichung

Bestimme alle reellen Nullstellen von $f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{2} + 2$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Exponentialgleichung mit Substitution

Bestimme alle Nullstellen der folgenden Funktion.

e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0

Nullstellen berechnen

Eine Nullstelle ist ein x-Wert, an dem der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Algebraisch setzt du den Funktionsterm gleich null.

f (x_{0}) = 0 ⟺ N (x_{0} ∣ 0)

Wähle die Lösungsmethode passend zum Term: ausklammern und Produktgleichung, faktorisieren, quadratische Lösungsformel oder eine geeignete Substitution.

Das lernst du

Formuliere die Nullstellengleichung f(x) = 0.
Löse lineare, quadratische und faktorisierbare polynomiale Gleichungen.
Prüfe Anzahl, Lage und Vielfachheit reeller Nullstellen.

Nullstellen berechnen

Nullstellen berechnen

Das lernst du

Durch Ausklammern und Faktorisieren

1x ausklammern

2Differenz von Quadraten

3Faktoren null setzen

Quadratische Gleichung

1Koeffizienten

2Lösungsformel

3Beide Lösungen

Lineare Nullstelle

Produktgleichung

Doppelte Nullstelle

Reelle Nullstellen prüfen

Größere Nullstelle einer Parabel

Drei Nullstellen durch Ausklammern

Biquadratische Gleichung

Exponentialgleichung mit Substitution

Nullstellen berechnen

Nullstellen berechnen

Das lernst du

Durch Ausklammern und Faktorisieren

1x ausklammern

2Differenz von Quadraten

3Faktoren null setzen

Quadratische Gleichung

1Koeffizienten

2Lösungsformel

3Beide Lösungen

Lineare Nullstelle

Produktgleichung

Doppelte Nullstelle

Reelle Nullstellen prüfen

Größere Nullstelle einer Parabel

Drei Nullstellen durch Ausklammern

Biquadratische Gleichung

Exponentialgleichung mit Substitution