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Optimierungsaufgaben

Optimierungsaufgaben übersetzen eine Sachfrage in eine Zielfunktion, deren Extremwert die beste Lösung liefert.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Optimierungsaufgaben modellieren

Bei einer Optimierungsaufgabe soll eine Zielgrösse maximal oder minimal werden. Formuliere zuerst Zielfunktion, Nebenbedingung und sinnvollen Definitionsbereich. Eliminiere mit der Nebenbedingung alle bis auf eine Variable.

Z^{'} (x) = 0 liefert innere Kandidaten

Klassifiziere die Kandidaten und vergleiche bei einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte. Erst danach deutest du das Resultat in der Ausgangssituation.

Das lernst du

Formuliere Zielfunktion, Nebenbedingung und sachlichen Definitionsbereich.
Bestimme und klassifiziere innere Extremkandidaten.
Vergleiche Randwerte und deute das optimale Resultat mit Einheit.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Rechteck mit festem Umfang

Ein Rechteck hat Umfang $20 m$ . Welche Seitenlängen maximieren seine Fläche?

1Nebenbedingung
$2 x + 2 y = 20 \Rightarrow y = 10 - x$
$0 < x < 10$ .
2Zielfunktion
$A (x) = x y = x (10 - x) = 10 x - x^{2}$
3Maximum
$A^{'} (x) = 10 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 5$ $A^{''} (x) = - 2 < 0 y = 5$

Ergebnis

Das Quadrat $5 m \times 5 m$ maximiert die Fläche mit $25 m^{2}$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Gewinnmaximum

Ein Gewinnmodell lautet $G (x) = - 2 x^{2} + 80 x - 300$ . Bestimme Menge und maximalen Gewinn.

1Kritische Menge
$G^{'} (x) = - 4 x + 80 = 0 \Rightarrow x = 20$
2Maximum prüfen
$G^{''} (x) = - 4 < 0$
3Gewinnwert
$G (20) = - 2 \cdot 400 + 1600 - 300 = 500$

Ergebnis

Bei $x = 20$ beträgt der maximale Modellgewinn $500$ Geldeinheiten.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Umfangsproblem

Ein Rechteck hat Umfang $12 cm$ . Welche maximale Fläche in $c m^{2}$ ist möglich?

Aufgabe 2

Einfach

Maximum einer Zielfunktion

Bei welchem x liegt das Maximum von $Z (x) = - x^{2} + 10 x + 4$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Randwerte

Müssen bei einer globalen Optimierung auf $[a, b]$ auch $Z (a)$ und $Z (b)$ geprüft werden?

Aufgabe 4

Einfach

Sachbereich

Eine Variable beschreibt eine Länge. Welcher Wert ist grundsätzlich unzulässig?

Aufgabe 5

Mittel

Maximale Rechteckfläche

Ein Rechteck hat den Umfang $20 cm$ . Bestimme seinen maximal möglichen Flächeninhalt.

2 x + 2 y = 20

Aufgabe 6

Mittel

Gewinnmaximum

Der Gewinn bei x Mengeneinheiten wird durch $G (x) = - 2 x^{2} + 80 x - 300$ beschrieben. Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn maximal?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Gehege an einem Fluss

Mit $100 m$ Zaun soll an einem geraden Fluss ein rechteckiges Gehege gebaut werden; die Flussseite braucht keinen Zaun. Bestimme den maximalen Flächeninhalt.

2 x + y = 100

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Materialminimum eines geschlossenen Zylinders

Ein geschlossener Zylinder hat das Volumen $128$ π $c m^{3}$ . Welcher Radius minimiert seine Oberfläche?

π r^{2} h = 128 π O = 2 π r^{2} + 2 π r h

Optimierungsaufgaben modellieren

Z^{'} (x) = 0 liefert innere Kandidaten

Klassifiziere die Kandidaten und vergleiche bei einem abgeschlossenen Intervall auch die Randwerte. Erst danach deutest du das Resultat in der Ausgangssituation.

Das lernst du

Formuliere Zielfunktion, Nebenbedingung und sachlichen Definitionsbereich.
Bestimme und klassifiziere innere Extremkandidaten.
Vergleiche Randwerte und deute das optimale Resultat mit Einheit.

Optimierungsaufgaben

Optimierungsaufgaben modellieren

Das lernst du

Rechteck mit festem Umfang

1Nebenbedingung

2Zielfunktion

3Maximum

Gewinnmaximum

1Kritische Menge

2Maximum prüfen

3Gewinnwert

Umfangsproblem

Maximum einer Zielfunktion

Randwerte

Sachbereich

Maximale Rechteckfläche

Gewinnmaximum

Gehege an einem Fluss

Materialminimum eines geschlossenen Zylinders

Optimierungsaufgaben

Optimierungsaufgaben modellieren

Das lernst du

Rechteck mit festem Umfang

1Nebenbedingung

2Zielfunktion

3Maximum

Gewinnmaximum

1Kritische Menge

2Maximum prüfen

3Gewinnwert

Umfangsproblem

Maximum einer Zielfunktion

Randwerte

Sachbereich

Maximale Rechteckfläche

Gewinnmaximum

Gehege an einem Fluss

Materialminimum eines geschlossenen Zylinders