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Ortsvektor und Verbindungsvektor

Ortsvektoren legen Punkte vom Ursprung aus fest, Verbindungsvektoren beschreiben den Weg zwischen zwei Punkten.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Punkte mit Orts- und Verbindungsvektoren beschreiben

Der Ortsvektor eines Punktes P führt vom Ursprung O zu P und besitzt dieselben Komponenten wie die Koordinaten von P. Ein Verbindungsvektor führt von einem beliebigen Startpunkt A zu einem Endpunkt B.

O P = p_{1} p_{2} p_{3}, A B = O B - O A

Beim Umkehren der Richtung entsteht der Gegenvektor: $B A = - A B$ .

Das lernst du

Übersetze Punktkoordinaten in Ortsvektoren.
Berechne gerichtete Verbindungsvektoren.
Rekonstruiere einen Endpunkt aus Startpunkt und Vektor.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Orts- und Verbindungsvektor

Gegeben sind $A (- 2∣1∣4)$ und $B (3∣5∣1)$ . Bestimme $O A$ und $A B$ .

1Ortsvektor ablesen
$O A = (- 2∣1∣4)$
2Ende minus Anfang
$A B = (3 - (- 2) ∣5 - 1∣1 - 4)$
3Ausrechnen
$A B = (5∣4∣ - 3)$

Ergebnis

$O A = (- 2∣1∣4), A B = (5∣4∣ - 3)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Endpunkt rekonstruieren

Von $A (1∣ - 3∣2)$ führt $A B = (4∣2∣ - 5)$ nach B.

1Gleichung
$B = A + A B$
2Addieren
$B = (1 + 4∣ - 3 + 2∣2 - 5)$
3Punkt
$B (5∣ - 1∣ - 3)$

Ergebnis

$B (5∣ - 1∣ - 3)$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ortsvektor

Welche dritte Komponente hat der Ortsvektor von $P (2∣ - 6∣9)$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Verbindungsvektor

Welche x-Komponente hat $A B$ für $A (4∣1)$ und $B (- 2∣5)$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Endpunkt

Für $A (2∣3∣ - 1)$ und $A B = (- 5∣4∣2)$ : Welche y-Koordinate hat B?

Aufgabe 4

Einfach

Richtung umkehren

Wenn $A B = (2∣ - 3)$ , wie lautet $B A$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Ortsvektor ablesen

Gib den Ortsvektor des Punktes $P (3∣2∣5)$ an.

O P = P - O

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Gerichteter Verbindungsvektor

Bestimme den Verbindungsvektor von $A (4∣ - 1∣2)$ nach $B (- 2∣3∣7)$ .

A B = B - A

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Teilungspunkt einer Strecke

P teilt die Strecke von $A (1∣1∣1)$ nach $B (7∣4∣ - 2)$ im Verhältnis AP: $P B = 2$ : $1$ . Bestimme P.

P = A + \frac{2}{3} A B

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Punktspiegelung am Mittelpunkt

$A (2∣ - 3∣4)$ wird am Punkt $M (- 1∣2∣0)$ gespiegelt. Bestimme den Bildpunkt B.

M = \frac{A + B}{2}

Punkte mit Orts- und Verbindungsvektoren beschreiben

O P = p_{1} p_{2} p_{3}, A B = O B - O A

Beim Umkehren der Richtung entsteht der Gegenvektor: $B A = - A B$ .

Das lernst du

Übersetze Punktkoordinaten in Ortsvektoren.
Berechne gerichtete Verbindungsvektoren.
Rekonstruiere einen Endpunkt aus Startpunkt und Vektor.

Ortsvektor und Verbindungsvektor

Punkte mit Orts- und Verbindungsvektoren beschreiben

Das lernst du

Orts- und Verbindungsvektor

1Ortsvektor ablesen

2Ende minus Anfang

3Ausrechnen

Endpunkt rekonstruieren

1Gleichung

2Addieren

3Punkt

Ortsvektor

Verbindungsvektor

Endpunkt

Richtung umkehren

Ortsvektor ablesen

Gerichteter Verbindungsvektor

Teilungspunkt einer Strecke

Punktspiegelung am Mittelpunkt

Ortsvektor und Verbindungsvektor

Punkte mit Orts- und Verbindungsvektoren beschreiben

Das lernst du

Orts- und Verbindungsvektor

1Ortsvektor ablesen

2Ende minus Anfang

3Ausrechnen

Endpunkt rekonstruieren

1Gleichung

2Addieren

3Punkt

Ortsvektor

Verbindungsvektor

Endpunkt

Richtung umkehren

Ortsvektor ablesen

Gerichteter Verbindungsvektor

Teilungspunkt einer Strecke

Punktspiegelung am Mittelpunkt