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Parameter in Funktion - II

Mehrere Parameter steuern Lage, Form und Schnittpunkte einer Funktionsschar gleichzeitig.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Bedingungen an Funktionenscharen

Bei fortgeschrittenen Parameteraufgaben wird nicht nur ein einzelner Graph beschrieben. Gesucht sind Parameterwerte, für die eine ganze Funktionenschar eine Bedingung erfüllt: durch einen Punkt verlaufen, eine bestimmte Nullstellenzahl besitzen oder einen anderen Graphen berühren.

Übersetze die geometrische Bedingung in eine Gleichung. Für einen Punkt $P (x_{P} ∣ y_{P})$ gilt $f_{a} (x_{P}) = y_{P}$ ; für eine doppelte quadratische Nullstelle gilt $Δ = 0$ .

Das lernst du

Übersetze Punkt-, Nullstellen- und Berührbedingungen in Parametergleichungen.
Nutze die Diskriminante zur Steuerung der Anzahl quadratischer Lösungen.
Bestimme Fixpunkte einer Funktionenschar und prüfe gefundene Parameterwerte.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Doppelte Nullstelle erzwingen

Für welche a besitzt $f_{a} (x) = x^{2} + a x + 4$ eine doppelte reelle Nullstelle?

1Diskriminante
$Δ = a^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^{2} - 16$
2Berührbedingung
$Δ = 0 \Rightarrow a^{2} = 16$
3Parameterwerte
$a = 4 oder a = - 4$

Ergebnis

Für $a = \pm 4$ besitzt die Parabel eine doppelte Nullstelle.

Musteraufgabe 2

Mittel

Schar durch einen Punkt

Bestimme a so, dass die Gerade $g_{a} (x) = (a - 1) x + 2$ durch $P (3 ∣ 8)$ verläuft.

1Punktbedingung
$g_{a} (3) = 8$
2Einsetzen
$3 (a - 1) + 2 = 8$
3Nach a lösen
$3 a - 1 = 8 \Rightarrow 3 a = 9 \Rightarrow a = 3$

Ergebnis

Für $a = 3$ lautet die Gerade $g (x) = 2 x + 2$ und enthält P.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Punktbedingung

$f_{a} (x) = a x + 4$ soll durch $P (3 ∣ 10)$ verlaufen. Bestimme a.

Aufgabe 2

Einfach

Doppelte Nullstelle

$p_{a} (x) = x^{2} + a x + 9$ soll eine doppelte Nullstelle besitzen. Bestimme den positiven Parameterwert a.

Aufgabe 3

Einfach

Tangentenparameter

Die Gerade $y = m x - 1$ soll die Parabel $y = x^{2}$ berühren. Bestimme den positiven Wert von m.

Aufgabe 4

Einfach

Fixpunkt der Schar

Alle Geraden $g_{a} (x) = a (x - 2) + 3$ gehen durch denselben Punkt mit $x = 2$ . Bestimme dessen y-Koordinate.

Aufgabe 5

Mittel

Streckfaktor einer Exponentialfunktion

Die Funktion $f_{a} (x) = a e^{x}$ erfüllt $f_{a} (0) = 6$ . Bestimme a.

Aufgabe 6

Mittel

Parameter aus einer senkrechten Asymptote

Die Funktion $f_{a} (x) = l n (x - a)$ besitzt die senkrechte Asymptote $x = 4$ . Bestimme a.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Stationäre Nullstelle einer Exponentialfamilie

Bestimme den positiven Parameter a, für den der Graph die x-Achse in einem stationären Punkt berührt.

f_{a} (x) = e^{x} - a x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Vorgegebenes Minimum einer Exponentialsumme

Für welchen positiven Parameter a besitzt die Funktion den globalen Minimalwert $4$ ?

f_{a} (x) = a e^{x} + e^{- x}

Bedingungen an Funktionenscharen

Übersetze die geometrische Bedingung in eine Gleichung. Für einen Punkt $P (x_{P} ∣ y_{P})$ gilt $f_{a} (x_{P}) = y_{P}$ ; für eine doppelte quadratische Nullstelle gilt $Δ = 0$ .

Das lernst du

Übersetze Punkt-, Nullstellen- und Berührbedingungen in Parametergleichungen.
Nutze die Diskriminante zur Steuerung der Anzahl quadratischer Lösungen.
Bestimme Fixpunkte einer Funktionenschar und prüfe gefundene Parameterwerte.

Parameter in Funktion - II

Bedingungen an Funktionenscharen

Das lernst du

Doppelte Nullstelle erzwingen

1Diskriminante

2Berührbedingung

3Parameterwerte

Schar durch einen Punkt

1Punktbedingung

2Einsetzen

3Nach a lösen

Punktbedingung

Doppelte Nullstelle

Tangentenparameter

Fixpunkt der Schar

Streckfaktor einer Exponentialfunktion

Parameter aus einer senkrechten Asymptote

Stationäre Nullstelle einer Exponentialfamilie

Vorgegebenes Minimum einer Exponentialsumme

Parameter in Funktion - II

Bedingungen an Funktionenscharen

Das lernst du

Doppelte Nullstelle erzwingen

1Diskriminante

2Berührbedingung

3Parameterwerte

Schar durch einen Punkt

1Punktbedingung

2Einsetzen

3Nach a lösen

Punktbedingung

Doppelte Nullstelle

Tangentenparameter

Fixpunkt der Schar

Streckfaktor einer Exponentialfunktion

Parameter aus einer senkrechten Asymptote

Stationäre Nullstelle einer Exponentialfamilie

Vorgegebenes Minimum einer Exponentialsumme