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Parameteraufgaben

Parameteraufgaben untersuchen, wie sich die Eigenschaften einer Funktion mit einem veränderlichen Parameter ändern.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Parameteraufgaben in der Differentialrechnung

Eine Funktionenschar $f_{a}$ enthält für jeden Parameterwert a einen anderen Graphen. Ableitungen werden nach x gebildet; a wird dabei wie eine Konstante behandelt.

Untersuche anschliessend, für welche Parameterwerte Gleichungen wie $f_{a}^{'} (x) = 0$ reelle Lösungen besitzen oder eine vorgegebene Punkt-, Steigungs- oder Wendebedingung erfüllen.

Das lernst du

Leite Funktionenscharen nach x ab und behandle a als Konstante.
Untersuche Anzahl und Art besonderer Punkte abhängig von a.
Bestimme Parameter aus Punkt-, Steigungs-, Extrem- oder Wendebedingungen.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Extrema abhängig vom Parameter

Untersuche $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ auf stationäre Punkte in Abhängigkeit von a.

1Stationäre Gleichung
$f_{a}^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a = 3 (x^{2} - a) = 0 \Rightarrow x^{2} = a$
2Fallunterscheidung
$a > 0$ : $x = \pm a$ ; $a = 0$ : $x = 0$ ; $a < 0$ : keine reelle stationäre Stelle.
3Punktarten
$f_{a}^{''} (x) = 6 x$
Für a > $0$ liegt bei $- a$ ein Hochpunkt und bei $a$ ein Tiefpunkt. Für $a = 0$ entsteht ein Sattelpunkt.

Ergebnis

Zwei Extrema für a > $0$ , ein Sattelpunkt für $a = 0$ , keine stationäre Stelle für a < $0$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Extremwert vorgeben

Für welche a hat $g_{a} (x) = x^{2} + a x$ den Extremwert − $4$ ?

1Extremstelle
$g_{a}^{'} (x) = 2 x + a = 0 \Rightarrow x_{E} = - \frac{a}{2}$
2Extremwert
$g_{a} (- \frac{a}{2}) = \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{2} = - \frac{a ^{2}}{4}$
3Bedingung lösen
$- \frac{a ^{2}}{4} = - 4 \Rightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = \pm 4$

Ergebnis

Für $a = 4$ oder $a = - 4$ beträgt der Minimalwert − $4$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Extremstelle der Schar

Für $f_{a} (x) = x^{2} - 2 a x$ gilt $x_{E} = a$ . Bestimme x_E für $a = 3$ .

Aufgabe 2

Einfach

Anzahl Extrema

Wie viele Extrempunkte besitzt $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ für $a = - 2$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Wendestelle

Für $g_{a} (x) = x^{3} + a x^{2}$ gilt $x_{W} = - \frac{a}{3}$ . Bestimme x_W für $a = 6$ .

Aufgabe 4

Einfach

Steigungsbedingung

$h_{a} (x) = a x^{2}$ soll bei $x = 1$ die Steigung $8$ haben. Bestimme a.

Aufgabe 5

Mittel

Scheitelstelle einer Parabelschar

Die Funktion $f_{a} (x) = x^{2} - 2 a x$ soll ihren Scheitel bei $x = 3$ besitzen. Bestimme a.

Aufgabe 6

Mittel

Parameterbereich für zwei Extremstellen

Für welche Werte von a besitzt $f_{a} (x) = x^{3} - 3 a x$ zwei verschiedene Extremstellen?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Tangentensteigung einer Exponentialfamilie

Die Funktion $f_{a} (x) = e^{a x}$ soll im Punkt $x = 0$ eine Tangente mit der Steigung − $2$ besitzen. Bestimme a.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Tangentiale Nullstelle einer kubischen Schar

Für welche Werte von a berührt der Graph von $f_{a} (x) = x^{3} - 3 x + a$ die x-Achse?

Parameteraufgaben in der Differentialrechnung

Eine Funktionenschar $f_{a}$ enthält für jeden Parameterwert a einen anderen Graphen. Ableitungen werden nach x gebildet; a wird dabei wie eine Konstante behandelt.

Untersuche anschliessend, für welche Parameterwerte Gleichungen wie $f_{a}^{'} (x) = 0$ reelle Lösungen besitzen oder eine vorgegebene Punkt-, Steigungs- oder Wendebedingung erfüllen.

Das lernst du

Leite Funktionenscharen nach x ab und behandle a als Konstante.
Untersuche Anzahl und Art besonderer Punkte abhängig von a.
Bestimme Parameter aus Punkt-, Steigungs-, Extrem- oder Wendebedingungen.

Parameteraufgaben

Parameteraufgaben in der Differentialrechnung

Das lernst du

Extrema abhängig vom Parameter

1Stationäre Gleichung

2Fallunterscheidung

3Punktarten

Extremwert vorgeben

1Extremstelle

2Extremwert

3Bedingung lösen

Extremstelle der Schar

Anzahl Extrema

Wendestelle

Steigungsbedingung

Scheitelstelle einer Parabelschar

Parameterbereich für zwei Extremstellen

Tangentensteigung einer Exponentialfamilie

Tangentiale Nullstelle einer kubischen Schar

Parameteraufgaben

Parameteraufgaben in der Differentialrechnung

Das lernst du

Extrema abhängig vom Parameter

1Stationäre Gleichung

2Fallunterscheidung

3Punktarten

Extremwert vorgeben

1Extremstelle

2Extremwert

3Bedingung lösen

Extremstelle der Schar

Anzahl Extrema

Wendestelle

Steigungsbedingung

Scheitelstelle einer Parabelschar

Parameterbereich für zwei Extremstellen

Tangentensteigung einer Exponentialfamilie

Tangentiale Nullstelle einer kubischen Schar