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Parameterform der Ebene

Die Parameterform erzeugt jeden Punkt einer Ebene aus einem Stützvektor und zwei unabhängigen Richtungsvektoren.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Ebenen mit zwei Spannrichtungen parametrisieren

In der Parameterform erreichst du von einem Stützpunkt aus jeden Ebenenpunkt durch zwei unabhängige Richtungsvektoren.

E : x = p + r u + s v r, s \in R

Das lernst du

Stelle eine Ebene durch drei nicht kollineare Punkte auf.
Prüfe die Unabhängigkeit der Spannvektoren.
Führe eine Punktprobe mit zwei Parametern durch.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Ebene durch drei Punkte

Stelle die Ebene durch $A (1∣0∣2), B (3∣1∣2), C (0∣2∣4)$ auf.

1Stützpunkt
$p = O A = (1∣0∣2)$
2Spannvektoren
$A B = (2∣1∣0) A C = (- 1∣2∣2)$
3Parameterform
$x = (1∣0∣2) + r (2∣1∣0) + s (- 1∣2∣2)$

Ergebnis

$E : x = (1∣0∣2) + r (2∣1∣0) + s (- 1∣2∣2)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Parameterform aus drei Punkten

Stelle die Ebene durch $A (0∣1∣2)$ , $B (2∣0∣3)$ und $C (- 1∣3∣1)$ in Parameterform dar.

E : x = a + r A B + s A C

1Ersten Spannvektor bilden
$A B = (2∣ - 1∣1)$
2Zweiten Spannvektor bilden
$A C = (- 1∣2∣ - 1)$
3Unabhängigkeit prüfen
$(2∣ - 1∣1) \times (- 1∣2∣ - 1) = (- 1∣1∣3) \neq = 0$
4Parameterform notieren
$E : x = (0∣1∣2) + r (2∣ - 1∣1) + s (- 1∣2∣ - 1)$

Ergebnis

Damit ergibt sich:

E : x = (0∣1∣2) + r (2∣ - 1∣1) + s (- 1∣2∣ - 1)

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Spannvektor

Für $A (2∣1∣0), B (5∣ - 1∣4)$ : Welche x-Komponente hat $A B$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Ebenenpunkt

Auf $x = (0∣0∣1) + r (1∣0∣2) + s (0∣1∣ - 1)$ : Welche z-Koordinate erhältst du für $r = 2, s = 3$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Spannvektoren

Spannen $(1∣2∣3)$ und $(2∣4∣6)$ eine Ebene auf?

Aufgabe 4

Einfach

Parameter

Liegt der Ursprung auf $x = (1∣1∣0) + r (1∣0∣0) + s (0∣1∣0)$ ? Falls ja, gib r an.

Aufgabe 5

Mittel

Ebene durch drei Punkte

Stelle die Parameterform der Ebene durch $A (1∣0∣2)$ , $B (3∣ - 1∣4)$ , $C (0∣2∣1)$ auf.

E : x = a + r A B + s A C

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Ebenenpunkt aus Parametern

Berechne den Ebenenpunkt für $r = 2$ und $s = - 1$ .

E : x = (1∣1∣0) + r (1∣0∣2) + s (0∣3∣ - 1)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Punktprobe mit zwei Parametern

Prüfe, ob $Q (4∣2∣5)$ in der Ebene E liegt.

E : x = (1∣0∣1) + r (1∣1∣0) + s (0∣1∣2)

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Ebene durch eine Gerade und einen Punkt

Die Ebene soll die Gerade g enthalten und zusätzlich durch $Q (0∣1∣2)$ gehen. Stelle eine Parameterform auf.

g : x = (1∣0∣0) + t (1∣1∣0)

Ebenen mit zwei Spannrichtungen parametrisieren

In der Parameterform erreichst du von einem Stützpunkt aus jeden Ebenenpunkt durch zwei unabhängige Richtungsvektoren.

E : x = p + r u + s v r, s \in R

Das lernst du

Stelle eine Ebene durch drei nicht kollineare Punkte auf.
Prüfe die Unabhängigkeit der Spannvektoren.
Führe eine Punktprobe mit zwei Parametern durch.

Parameterform der Ebene

Ebenen mit zwei Spannrichtungen parametrisieren

Das lernst du

Ebene durch drei Punkte

1Stützpunkt

2Spannvektoren

3Parameterform

Parameterform aus drei Punkten

1Ersten Spannvektor bilden

2Zweiten Spannvektor bilden

3Unabhängigkeit prüfen

4Parameterform notieren

Spannvektor

Ebenenpunkt

Spannvektoren

Parameter

Ebene durch drei Punkte

Ebenenpunkt aus Parametern

Punktprobe mit zwei Parametern

Ebene durch eine Gerade und einen Punkt

Parameterform der Ebene

Ebenen mit zwei Spannrichtungen parametrisieren

Das lernst du

Ebene durch drei Punkte

1Stützpunkt

2Spannvektoren

3Parameterform

Parameterform aus drei Punkten

1Ersten Spannvektor bilden

2Zweiten Spannvektor bilden

3Unabhängigkeit prüfen

4Parameterform notieren

Spannvektor

Ebenenpunkt

Spannvektoren

Parameter

Ebene durch drei Punkte

Ebenenpunkt aus Parametern

Punktprobe mit zwei Parametern

Ebene durch eine Gerade und einen Punkt