Polynomfunktionen

Eine Polynomfunktion ist eine Summe nichtnegativer ganzzahliger Potenzen von x. Ihr Grad ist der höchste Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten.

Die Zahl $m$ heisst Vielfachheit der Nullstelle $x_0$, wenn der Faktor $(x-x_0{)}^m$ im Polynom enthalten ist, aber kein weiterer Faktor $(x-x_0)$. In der Faktorform kann man diese Zahl direkt am Exponenten ablesen.

Bei ungerader Vielfachheit wechselt $p$ an $x_0$ das Vorzeichen und der Graph schneidet die x-Achse. Bei gerader Vielfachheit bleibt das Vorzeichen gleich und der Graph berührt die Achse. Je grösser die Vielfachheit, desto flacher verläuft der Graph dort.

Die Polynomdivision zerlegt einen Dividend $p(x)$ in Divisor $d(x)$, Quotient $q(x)$ und Rest $r(x)$. Dabei muss der Grad des Restes kleiner als der Grad des Divisors sein.

Teile jeweils den führenden Term des aktuellen Restpolynoms durch den führenden Term des Divisors, multipliziere zurück und subtrahiere. Ist $x_0$ eine Nullstelle, so bleibt bei der Division durch $(x-x_0)$ kein Rest. Dadurch sinkt der Grad und weitere Nullstellen werden zugänglich.

Für das Verhalten im Unendlichen dominiert allein der Leitterm $a_n{x}^n$. Bei geradem Grad zeigen beide Enden in dieselbe Richtung; bei ungeradem Grad in entgegengesetzte Richtungen. Das Vorzeichen von $a_n$ entscheidet, welches Ende nach oben verläuft.