Themenübersicht

Potenzregel

Die Potenzregel leitet Potenzen ab, indem der Exponent zum Faktor wird und anschliessend um eins sinkt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Potenzregel

Die Potenzregel leitet Potenzen von x ab: Der bisherige Exponent wird zum Faktor und anschliessend um $1$ vermindert.

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten, jeweils auf dem Definitionsbereich der Funktion. Für $n = 0$ ist $x^{0}$ die konstante Funktion $1$ , also $(x^{0})^{'} = 0$ .

Das lernst du

Leite ganzzahlige Potenzen mit der Potenzregel ab.
Schreibe Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen und leite sie ab.
Beachte Definitionsbereiche bei negativen und gebrochenen Exponenten.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Positive ganzzahlige Potenz

Leite $f (x) = x^{7}$ ab.

1Exponent als Faktor
$x^{7} ⟶ 7 x^{□}$
2Exponent vermindern
$7 - 1 = 6$
3Ableitung
$f^{'} (x) = 7 x^{6}$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 7 x^{6}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Negative Potenz

Leite $g (x) = x^{- 3} = \frac{1}{x ^{3}}$ ab.

1Exponent voranstellen
$g^{'} (x) = - 3 x^{- 3 - 1}$
2Exponent vereinfachen
$g^{'} (x) = - 3 x^{- 4}$
3Als Bruch
$g^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{4}} (x \neq = 0)$

Ergebnis

$g^{'} (x) = - \frac{3}{x ^{4}}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Exponent vermindern

Welcher Exponent steht in der Ableitung von $x^{9}$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Quadratwurzel

Für $f (x) = x$ : Berechne $f^{'} (4)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Kehrwertpotenz

Bestimme $f^{'} (1)$ für $f (x) = x^{- 2}$ .

Aufgabe 4

Einfach

Exponent null

Welche Ableitung hat $f (x) = x^{0} = 1$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Ganzzahlige positive Potenz

Leite $f (x) = 5 x^{4}$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

Negative Potenz an einer Stelle

Gegeben ist $f (x) = x^{- 2}$ . Berechne $f^{'} (2)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Gebrochene und negative Exponenten

Leite $f (x) = x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{- \frac{1}{2}}$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wurzelpotenz differenzieren

Schreibe $f (x) = (3 x)^{4}$ als Potenz und bestimme $f^{'} (x)$ .

Potenzregel

Die Potenzregel leitet Potenzen von x ab: Der bisherige Exponent wird zum Faktor und anschliessend um $1$ vermindert.

\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}

Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten, jeweils auf dem Definitionsbereich der Funktion. Für $n = 0$ ist $x^{0}$ die konstante Funktion $1$ , also $(x^{0})^{'} = 0$ .

Das lernst du

Leite ganzzahlige Potenzen mit der Potenzregel ab.
Schreibe Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen und leite sie ab.
Beachte Definitionsbereiche bei negativen und gebrochenen Exponenten.

Potenzregel

Potenzregel

Das lernst du

Positive ganzzahlige Potenz

1Exponent als Faktor

2Exponent vermindern

3Ableitung

Negative Potenz

1Exponent voranstellen

2Exponent vereinfachen

3Als Bruch

Exponent vermindern

Quadratwurzel

Kehrwertpotenz

Exponent null

Ganzzahlige positive Potenz

Negative Potenz an einer Stelle

Gebrochene und negative Exponenten

Wurzelpotenz differenzieren

Potenzregel

Potenzregel

Das lernst du

Positive ganzzahlige Potenz

1Exponent als Faktor

2Exponent vermindern

3Ableitung

Negative Potenz

1Exponent voranstellen

2Exponent vereinfachen

3Als Bruch

Exponent vermindern

Quadratwurzel

Kehrwertpotenz

Exponent null

Ganzzahlige positive Potenz

Negative Potenz an einer Stelle

Gebrochene und negative Exponenten

Wurzelpotenz differenzieren