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Produktregel

Die Produktregel berechnet die Ableitung eines Produkts aus zwei veränderlichen Faktoren.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Produktregel

Sind zwei x-abhängige Funktionen miteinander multipliziert, müssen beide abwechselnd abgeleitet werden. Die beiden entstehenden Produkte werden addiert.

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Markiere vor dem Ableiten $u$ und $v$ und notiere $u^{'}$ sowie $v^{'}$ getrennt. Erst danach setzt du alles in die Regel ein.

Das lernst du

Zerlege ein Produkt in u und v und bestimme beide Ableitungen.
Setze die vier Terme in u′v + uv′ ein.
Vereinfache das Ergebnis oder berechne einen Ableitungswert.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Produkt zweier Polynome

Leite $f (x) = (x^{2} + 1) (3 x - 4)$ ab.

1Teilfunktionen
$u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x v = 3 x - 4, v^{'} = 3$
2Produktregel
$f^{'} (x) = 2 x (3 x - 4) + (x^{2} + 1) \cdot 3$
3Vereinfachen
$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 8 x + 3 x^{2} + 3 = 9 x^{2} - 8 x + 3$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 8 x + 3$

Musteraufgabe 2

Mittel

Polynom mal e-Funktion

Leite $g (x) = (x^{2} + 1) e^{x}$ ab.

1Faktoren ableiten
$u^{'} = 2 x v^{'} = (e^{x})^{'} = e^{x}$
2Produktregel
$g^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} + 1) e^{x}$
3Gemeinsamen Faktor ausklammern
$g^{'} (x) = e^{x} (x^{2} + 2 x + 1) = e^{x} (x + 1)^{2}$

Ergebnis

$g^{'} (x) = e^{x} (x + 1)^{2}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ableitungswert

Für $f (x) = (x + 2) x^{2}$ : Berechne $f^{'} (1)$ .

Aufgabe 2

Einfach

x mal eˣ

Welche Ableitung gehört zu $g (x) = x e^{x}$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Zwei lineare Faktoren

Berechne $h^{'} (0)$ für $h (x) = (2 x - 1) (x^{2} + 3)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Typischen Fehler erkennen

Warum ist $(uv)^{'} = u^{'} v^{'}$ im Allgemeinen falsch?

Aufgabe 5

Mittel

Polynom mal e-Funktion

Leite $f (x) = x^{2} e^{x}$ ab und klammere $e^{x}$ aus.

Aufgabe 6

Mittel

Produkt zweier Polynome

Leite $f (x) = (x + 1) (x^{2} - 2)$ mit der Produktregel ab und vereinfache.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Produkt mit Logarithmus

Leite $f (x) = x^{2} ln x$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Trigonometrisches Produkt an π/4

Für $f (x) = sin x \cdot cos x$ : Berechne $f^{'} (\frac{π}{4})$ .

Produktregel

Sind zwei x-abhängige Funktionen miteinander multipliziert, müssen beide abwechselnd abgeleitet werden. Die beiden entstehenden Produkte werden addiert.

(u \cdot v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Markiere vor dem Ableiten $u$ und $v$ und notiere $u^{'}$ sowie $v^{'}$ getrennt. Erst danach setzt du alles in die Regel ein.

Das lernst du

Zerlege ein Produkt in u und v und bestimme beide Ableitungen.
Setze die vier Terme in u′v + uv′ ein.
Vereinfache das Ergebnis oder berechne einen Ableitungswert.

Produktregel

Produktregel

Das lernst du

Produkt zweier Polynome

1Teilfunktionen

2Produktregel

3Vereinfachen

Polynom mal e-Funktion

1Faktoren ableiten

2Produktregel

3Gemeinsamen Faktor ausklammern

Ableitungswert

x mal eˣ

Zwei lineare Faktoren

Typischen Fehler erkennen

Polynom mal e-Funktion

Produkt zweier Polynome

Produkt mit Logarithmus

Trigonometrisches Produkt an π/4

Produktregel

Produktregel

Das lernst du

Produkt zweier Polynome

1Teilfunktionen

2Produktregel

3Vereinfachen

Polynom mal e-Funktion

1Faktoren ableiten

2Produktregel

3Gemeinsamen Faktor ausklammern

Ableitungswert

x mal eˣ

Zwei lineare Faktoren

Typischen Fehler erkennen

Polynom mal e-Funktion

Produkt zweier Polynome

Produkt mit Logarithmus

Trigonometrisches Produkt an π/4