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Quotientenregel

Die Quotientenregel bestimmt die Ableitung eines Bruchs aus Zähler-, Nenner- und Produktableitung.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Quotientenregel

Besteht eine Funktion aus dem Quotienten zweier x-abhängiger Funktionen, wird im Zähler «Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten» gerechnet. Der ursprüngliche Nenner wird quadriert.

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} v \neq = 0

Die Reihenfolge im Zähler bestimmt das Vorzeichen. Prüfe vorab, ob sich der Quotient vereinfachen oder als Potenz schreiben lässt; dann ist die Quotientenregel manchmal unnötig.

Das lernst du

Bestimme u, v, u′ und v′ eines Quotienten.
Setze mit korrektem Minuszeichen in die Quotientenregel ein.
Vereinfache den Zähler und behalte den Definitionsbereich im Blick.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratischer Zähler

Leite $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ ab.

1Teilfunktionen
$u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x v = x - 1, v^{'} = 1$
2Quotientenregel
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 1 ) ^{2}}$
3Zähler vereinfachen
$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}} (x \neq = 1)$

Ergebnis

$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 2 x - 1}{( x - 1 ) ^{2}}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Zwei lineare Funktionen

Leite $g (x) = \frac{3 x - 2}{x + 4}$ ab.

1Ableitungen
$u^{'} = 3 v^{'} = 1$
2Regel einsetzen
$g^{'} (x) = \frac{3 ( x + 4 ) - ( 3 x - 2 )}{( x + 4 ) ^{2}}$
3Zähler zusammenfassen
$3 x + 12 - 3 x + 2 = 14$

Ergebnis

$g^{'} (x) = \frac{14}{( x + 4 ) ^{2}}$ für $x \neq = - 4$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ableitungswert

Berechne $f^{'} (0)$ für $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Kehrwert ableiten

Bestimme $g^{'} (1)$ für $g (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ .

Aufgabe 3

Einfach

Nenner der Ableitung

Welcher Nenner entsteht bei der Ableitung von $\frac{u ( x )}{x - 3}$ mit der Quotientenregel?

Aufgabe 4

Einfach

Minuszeichen

Welche Zählerstruktur ist korrekt?

Aufgabe 5

Mittel

Quadratischer Zähler durch x

Leite $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ mit der Quotientenregel ab und vereinfache.

Aufgabe 6

Mittel

Ableitungswert eines linearen Quotienten

Für $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ : Berechne $f^{'} (2)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

e-Funktion durch x

Leite $f (x) = \frac{e ^{x}}{x}$ für $x \neq = 0$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Logarithmus durch ein Quadrat

Leite $f (x) = \frac{l n x}{x ^{2}}$ für $x > 0$ ab und vereinfache.

Quotientenregel

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} v \neq = 0

Die Reihenfolge im Zähler bestimmt das Vorzeichen. Prüfe vorab, ob sich der Quotient vereinfachen oder als Potenz schreiben lässt; dann ist die Quotientenregel manchmal unnötig.

Das lernst du

Bestimme u, v, u′ und v′ eines Quotienten.
Setze mit korrektem Minuszeichen in die Quotientenregel ein.
Vereinfache den Zähler und behalte den Definitionsbereich im Blick.

Quotientenregel

Quotientenregel

Das lernst du

Quadratischer Zähler

1Teilfunktionen

2Quotientenregel

3Zähler vereinfachen

Zwei lineare Funktionen

1Ableitungen

2Regel einsetzen

3Zähler zusammenfassen

Ableitungswert

Kehrwert ableiten

Nenner der Ableitung

Minuszeichen

Quadratischer Zähler durch x

Ableitungswert eines linearen Quotienten

e-Funktion durch x

Logarithmus durch ein Quadrat

Quotientenregel

Quotientenregel

Das lernst du

Quadratischer Zähler

1Teilfunktionen

2Quotientenregel

3Zähler vereinfachen

Zwei lineare Funktionen

1Ableitungen

2Regel einsetzen

3Zähler zusammenfassen

Ableitungswert

Kehrwert ableiten

Nenner der Ableitung

Minuszeichen

Quadratischer Zähler durch x

Ableitungswert eines linearen Quotienten

e-Funktion durch x

Logarithmus durch ein Quadrat