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Rotationskörper

Rotationskörper entstehen beim Drehen einer Fläche um eine Achse und ihr Volumen wird mit Integralen berechnet.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Volumen von Rotationskörpern

Rotiert die Fläche zwischen einem nichtnegativen Graphen $y = f (x)$ und der x-Achse um die x-Achse, entstehen senkrechte Kreisscheiben mit Radius $f (x)$ .

V = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

Bei einem Hohlkörper mit Aussenradius $R (x)$ und Innenradius $r (x)$ verwendet man Kreisringe: $V = π \int_{a}^{b} (R^{2} - r^{2}) d x$ .

Das lernst du

Bestimme Radiusfunktion und Rotationsintervall.
Berechne Volumen mit Scheiben- und Kreisringmethode.
Gib exakte Resultate mit π und korrekter Volumeneinheit an.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Kegel aus einer Geraden

Die Fläche unter $f (x) = x$ auf [ $0, 2$ ] rotiert um die x-Achse. Berechne V.

1Radius
$r (x) = x$
2Scheibenformel
$V = π \int_{0}^{2} x^{2} d x$
3Auswerten
$V = π [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8 π}{3}$

Ergebnis

$V = \frac{8 π}{3}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Rotation einer Wurzelfunktion

$f (x) = x$ rotiert auf [ $0, 4$ ] um die x-Achse. Berechne V.

1Quadrieren
$(x)^{2} = x$
2Integral
$V = π \int_{0}^{4} x d x$
3Auswerten
$V = π [\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{4} = 8 π$

Ergebnis

$V = 8 π$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Zylinder

$f (x) = 3$ rotiert auf [ $0, 5$ ] um die x-Achse. Bestimme den Faktor k in $V = k π$ .

Aufgabe 2

Einfach

Parabelrotation

$f (x) = x^{2}$ rotiert auf [ $0, 1$ ]. Bestimme $\frac{V}{π}$ .

Aufgabe 3

Einfach

Formelbestandteil

Was wird bei Rotation um die x-Achse im Integral quadriert?

Aufgabe 4

Einfach

Kreisring

Konstante Radien $R = 3$ und $r = 1$ rotieren über Länge $2$ . Bestimme $\frac{V}{π}$ .

Aufgabe 5

Mittel

Rotation einer Geraden

Der Graph $f (x) = 2 x$ rotiert auf [ $0, 1$ ] um die x-Achse. Berechne das Volumen.

V = π \int_{0}^{1} (2 x)^{2} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Halbkugel aus einer Wurzelfunktion

$f (x) = 4 - x^{2}$ rotiert auf [ $0, 2$ ] um die x-Achse. Berechne das Volumen.

V = π \int_{0}^{2} (4 - x^{2})^{2} d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Kreisringmethode mit variablen Radien

Die Fläche zwischen $R (x) = x + 2$ und $r (x) = x$ rotiert auf [ $0, 3$ ] um die x-Achse. Berechne das Volumen.

V = π \int_{0}^{3} ((x + 2)^{2} - x^{2}) d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Rotation zwischen zwei Graphen

Die Fläche zwischen $y = x$ und $y = x$ auf [ $0, 1$ ] rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen.

V = π \int_{0}^{1} ((x)^{2} - x^{2}) d x

Volumen von Rotationskörpern

Rotiert die Fläche zwischen einem nichtnegativen Graphen $y = f (x)$ und der x-Achse um die x-Achse, entstehen senkrechte Kreisscheiben mit Radius $f (x)$ .

V = π \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

Bei einem Hohlkörper mit Aussenradius $R (x)$ und Innenradius $r (x)$ verwendet man Kreisringe: $V = π \int_{a}^{b} (R^{2} - r^{2}) d x$ .

Das lernst du

Bestimme Radiusfunktion und Rotationsintervall.
Berechne Volumen mit Scheiben- und Kreisringmethode.
Gib exakte Resultate mit π und korrekter Volumeneinheit an.

Rotationskörper

Volumen von Rotationskörpern

Das lernst du

Kegel aus einer Geraden

1Radius

2Scheibenformel

3Auswerten

Rotation einer Wurzelfunktion

1Quadrieren

2Integral

3Auswerten

Zylinder

Parabelrotation

Formelbestandteil

Kreisring

Rotation einer Geraden

Halbkugel aus einer Wurzelfunktion

Kreisringmethode mit variablen Radien

Rotation zwischen zwei Graphen

Rotationskörper

Volumen von Rotationskörpern

Das lernst du

Kegel aus einer Geraden

1Radius

2Scheibenformel

3Auswerten

Rotation einer Wurzelfunktion

1Quadrieren

2Integral

3Auswerten

Zylinder

Parabelrotation

Formelbestandteil

Kreisring

Rotation einer Geraden

Halbkugel aus einer Wurzelfunktion

Kreisringmethode mit variablen Radien

Rotation zwischen zwei Graphen