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Sattelpunkte

Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente und ohne lokales Extremum.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Sattelpunkte erkennen

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Daher müssen an derselben Stelle eine stationäre Bedingung und ein Krümmungswechsel vorliegen.

f^{'} (x_{S}) = 0 f^{''} wechselt bei x_{S} das Vorzeichen

Häufig gilt zusätzlich $f^{''} (x_{S}) = 0$ und $f^{'''} (x_{S}) \neq = 0$ . Der Vorzeichenwechsel von f″ bleibt aber das allgemeinere Kriterium.

Das lernst du

Prüfe stationäre und Wendebedingung gemeinsam.
Unterscheide Sattel-, Extrem- und gewöhnliche Wendepunkte.
Erkenne Sattelpunkte auch dann, wenn f‴(x_S) = 0 ist.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Klassischer Sattelpunkt

Untersuche $f (x) = x^{3}$ bei $x = 0$ .

1Stationäre Bedingung
$f^{'} (x) = 3 x^{2} \Rightarrow f^{'} (0) = 0$
2Wendebedingung
$f^{''} (x) = 6 x$
f″ wechselt bei $0$ von negativ zu positiv.
3Punkt
$f (0) = 0$

Ergebnis

$S (0 ∣ 0)$ ist ein Sattelpunkt.

Musteraufgabe 2

Mittel

Sattelpunkt trotz f‴ = 0

Untersuche $g (x) = x^{5}$ bei $x = 0$ .

1Waagrechte Tangente
$g^{'} (x) = 5 x^{4} \Rightarrow g^{'} (0) = 0$
2Krümmungswechsel
$g^{''} (x) = 20 x^{3}$
g″ ist links negativ und rechts positiv.
3Dritter Ableitungstest
$g^{'''} (0) = 0$
Der Test entscheidet nicht, der Vorzeichenwechsel von g″ aber schon.

Ergebnis

$S (0 ∣ 0)$ ist auch hier ein Sattelpunkt.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Verschobener Sattelpunkt

Bestimme die x-Koordinate des Sattelpunkts von $f (x) = (x - 2)^{3} + 1$ .

Aufgabe 2

Einfach

Extremum statt Sattel

Ist $f (x) = x^{4}$ bei $x = 0$ ein Sattelpunkt?

Aufgabe 3

Einfach

Bedingungen prüfen

Es gilt $f^{'} (1) = 0$ , $f^{''} (1) = 0$ und $f^{'''} (1) = 5$ . Welche Punktart liegt vor?

Aufgabe 4

Einfach

Koordinate ergänzen

Eine Funktion besitzt bei $x = - 1$ einen Sattelpunkt und $f (- 1) = 4$ . Gib dessen y-Koordinate ein.

Aufgabe 5

Mittel

Stationärer Wendepunkt von x³

Zeige, dass $f (x) = x^{3}$ im Ursprung einen Sattelpunkt besitzt.

Aufgabe 6

Mittel

Sattelpunkt von einem Minimum unterscheiden

Welche Funktion besitzt bei $x = 0$ einen Sattelpunkt?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Sattelpunkt höherer Ordnung

Untersuche $f (x) = x^{5}$ an der Stelle $x = 0$ und klassifiziere den Punkt.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter für einen Sattelpunkt

Für welchen Wert von a besitzt $f_{a} (x) = x^{3} + a x^{2}$ im Ursprung einen Sattelpunkt?

Sattelpunkte erkennen

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Daher müssen an derselben Stelle eine stationäre Bedingung und ein Krümmungswechsel vorliegen.

f^{'} (x_{S}) = 0 f^{''} wechselt bei x_{S} das Vorzeichen

Häufig gilt zusätzlich $f^{''} (x_{S}) = 0$ und $f^{'''} (x_{S}) \neq = 0$ . Der Vorzeichenwechsel von f″ bleibt aber das allgemeinere Kriterium.

Das lernst du

Prüfe stationäre und Wendebedingung gemeinsam.
Unterscheide Sattel-, Extrem- und gewöhnliche Wendepunkte.
Erkenne Sattelpunkte auch dann, wenn f‴(x_S) = 0 ist.

Sattelpunkte

Sattelpunkte erkennen

Das lernst du

Klassischer Sattelpunkt

1Stationäre Bedingung

2Wendebedingung

3Punkt

Sattelpunkt trotz f‴ = 0

1Waagrechte Tangente

2Krümmungswechsel

3Dritter Ableitungstest

Verschobener Sattelpunkt

Extremum statt Sattel

Bedingungen prüfen

Koordinate ergänzen

Stationärer Wendepunkt von x³

Sattelpunkt von einem Minimum unterscheiden

Sattelpunkt höherer Ordnung

Parameter für einen Sattelpunkt

Sattelpunkte

Sattelpunkte erkennen

Das lernst du

Klassischer Sattelpunkt

1Stationäre Bedingung

2Wendebedingung

3Punkt

Sattelpunkt trotz f‴ = 0

1Waagrechte Tangente

2Krümmungswechsel

3Dritter Ableitungstest

Verschobener Sattelpunkt

Extremum statt Sattel

Bedingungen prüfen

Koordinate ergänzen

Stationärer Wendepunkt von x³

Sattelpunkt von einem Minimum unterscheiden

Sattelpunkt höherer Ordnung

Parameter für einen Sattelpunkt