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Der Satz von Bayes berechnet umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeiten aus bekannten Anteilen und Trefferraten.
Lernschritt
Theorie verstehen
Der Satz von Bayes berechnet die Wahrscheinlichkeit einer Ursache A unter einer beobachteten Folge B. Dazu werden Trefferwahrscheinlichkeit und Grundrate kombiniert.
Bei mehreren möglichen Ursachen wird mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit gebildet.
Lernschritt
Beispiele nachvollziehen
Musteraufgabe 1
Einfachder Teile stammen von Maschine A. A erzeugt Ausschuss, die übrigen Maschinen . Ein Teil ist defekt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es von A stammt.
Ergebnis
Musteraufgabe 2
MittelLieferant A liefert der Teile mit Ausschuss, B liefert mit Ausschuss. Ein Teil ist defekt. Wie wahrscheinlich stammt es von B?
Gewichte jede Ausschussrate mit dem Lieferanteil.
Alle defekten Teile bilden den neuen Bezugsraum.
Ergebnis
Das defekte Teil stammt mit Wahrscheinlichkeit etwa von B.
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Selbst rechnen
Aufgabe 1
EinfachEs gilt . Bestimme .
Aufgabe 2
EinfachEs gilt . Bestimme .
Aufgabe 3
EinfachMit den Angaben der vorigen Aufgabe: Bestimme .
Aufgabe 4
EinfachWarum kann ein positives Testergebnis trotz hoher Sensitivität oft falsch sein?
Aufgabe 5
MittelMaschine A produziert aller Teile mit Ausschuss, Maschine B mit Ausschuss. Ein zufällig gewähltes Teil ist defekt. Berechne .
Aufgabe 6
MittelEine Krankheit betrifft der Bevölkerung. Ein Test ist bei Kranken zu positiv und bei Gesunden zu falsch positiv. Berechne .
Aufgabe 7
AnspruchsvollEine Krankheit betrifft der Bevölkerung. Ein Test ist bei Kranken zu positiv und bei Gesunden zu falsch positiv. Eine Person wird unabhängig zweimal getestet, beide Tests sind positiv. Bestimme .
Aufgabe 8
AnspruchsvollDie Linien A, B und C liefern , und der Teile mit Ausschussraten , und . Ein Teil ist defekt. Zusätzlich tritt ein chemisches Merkmal M auf, das bei der Defekte von C und bei der übrigen Defekte vorkommt. Bestimme P(C | defekt und M).
