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Sigma-Regeln

Die Sigma-Regeln geben an, welcher Anteil normalverteilter Werte in einem, zwei oder drei Standardabweichungen liegt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Typische Bereiche mit den Sigma-Regeln abschätzen

Für eine Normalverteilung liegen feste Anteile symmetrisch um den Mittelwert. Die Sigma-Regeln ermöglichen schnelle Intervallabschätzungen.

P (∣ X - μ ∣ \leq σ) \approx 68, 27%

P (∣ X - μ ∣ \leq 2 σ) \approx 95, 45% P (∣ X - μ ∣ \leq 3 σ) \approx 99, 73%

Das lernst du

Bestimme Ein-, Zwei- und Drei-Sigma-Intervalle.
Ordne den Intervallen die passenden Wahrscheinlichkeiten zu.
Berechne einseitige Randwahrscheinlichkeiten mithilfe der Symmetrie.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Zwei-Sigma-Bereich

Es gilt $X \sim N (100, 5^{2})$ . Gib das Zwei-Sigma-Intervall und seinen ungefähren Anteil an.

1Breite
$2 σ = 2 \cdot 5 = 10$
2Grenzen
$[μ - 2 σ, μ + 2 σ] = [90, 110]$
3Anteil
$P (90 \leq X \leq 110) \approx 0, 9545$

Ergebnis

Etwa $95, 45 %$ liegen zwischen $90$ und $110$ .

Musteraufgabe 2

Mittel

Oberer Ein-Sigma-Rand

Wie gross ist näherungsweise $P (X > μ + σ)$ ?

1Mitte
Im Ein-Sigma-Bereich liegen $68, 27 %$ .
2Aussenfläche
$1 - 0, 6827 = 0, 3173$
3Eine Seite
$\frac{0 , 3173}{2} = 0, 15865$

Ergebnis

$P (X > μ + σ) \approx 15, 87%$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Intervallgrenze

Für $μ = 40, σ = 3$ : Gib die obere Grenze des Drei-Sigma-Intervalls an.

Aufgabe 2

Einfach

Ein-Sigma-Anteil

Wie viel Prozent liegen näherungsweise im Ein-Sigma-Intervall?

Aufgabe 3

Einfach

Zwei-Sigma-Anteil

Wie viel Prozent liegen näherungsweise im Zwei-Sigma-Intervall?

Aufgabe 4

Einfach

Voraussetzung

Für welche Verteilung gelten die $68 - 95 - 99$ , $7$ -Regeln?

Aufgabe 5

Mittel

Zwei-Sigma-Intervall

Für X~ $N (80; 6^{2})$ bestimme die obere Grenze des Zwei-Sigma-Intervalls.

Aufgabe 6

Mittel

Einseitiger Rand außerhalb eines Sigma

Bei einer Normalverteilung liegen ungefähr $68, 27 %$ im Ein-Sigma-Intervall. Wie viel Prozent liegen oberhalb von μ+σ?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Erwartete Anzahl zwischen einem und zwei Sigma

Eine normalverteilte Messgröße wird $10000$ -mal beobachtet. Wie viele Werte liegen nach den Sigma-Regeln ungefähr im halboffenen Intervall (μ+σ; μ+ $2$ σ]?

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Ausschuss außerhalb von zwei Sigma

Eine Maschine fertigt Durchmesser X~ $N (20; 0, 4^{2})$ . Stücke außerhalb von [ $19, 2$ ; $20, 8$ ] gelten als Ausschuss. Von $2000$ Stücken: Wie viele sind nach der Zwei-Sigma-Regel ungefähr Ausschuss?

Typische Bereiche mit den Sigma-Regeln abschätzen

Für eine Normalverteilung liegen feste Anteile symmetrisch um den Mittelwert. Die Sigma-Regeln ermöglichen schnelle Intervallabschätzungen.

P (∣ X - μ ∣ \leq σ) \approx 68, 27%

P (∣ X - μ ∣ \leq 2 σ) \approx 95, 45% P (∣ X - μ ∣ \leq 3 σ) \approx 99, 73%

Das lernst du

Bestimme Ein-, Zwei- und Drei-Sigma-Intervalle.
Ordne den Intervallen die passenden Wahrscheinlichkeiten zu.
Berechne einseitige Randwahrscheinlichkeiten mithilfe der Symmetrie.

Sigma-Regeln

Typische Bereiche mit den Sigma-Regeln abschätzen

Das lernst du

Zwei-Sigma-Bereich

1Breite

2Grenzen

3Anteil

Oberer Ein-Sigma-Rand

1Mitte

2Aussenfläche

3Eine Seite

Intervallgrenze

Ein-Sigma-Anteil

Zwei-Sigma-Anteil

Voraussetzung

Zwei-Sigma-Intervall

Einseitiger Rand außerhalb eines Sigma

Erwartete Anzahl zwischen einem und zwei Sigma

Ausschuss außerhalb von zwei Sigma

Sigma-Regeln

Typische Bereiche mit den Sigma-Regeln abschätzen

Das lernst du

Zwei-Sigma-Bereich

1Breite

2Grenzen

3Anteil

Oberer Ein-Sigma-Rand

1Mitte

2Aussenfläche

3Eine Seite

Intervallgrenze

Ein-Sigma-Anteil

Zwei-Sigma-Anteil

Voraussetzung

Zwei-Sigma-Intervall

Einseitiger Rand außerhalb eines Sigma

Erwartete Anzahl zwischen einem und zwei Sigma

Ausschuss außerhalb von zwei Sigma