Themenübersicht

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt verbindet Länge und Winkel zweier Vektoren und erkennt insbesondere senkrechte Richtungen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Mit dem Skalarprodukt Richtungen vergleichen

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Es verbindet ihre Komponenten mit dem eingeschlossenen Winkel und zeigt, wie stark die Vektoren in dieselbe Richtung weisen.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ

Bei einem Skalarprodukt von $0$ stehen zwei von null verschiedene Vektoren senkrecht aufeinander.

Das lernst du

Berechne Skalarprodukte komponentenweise.
Prüfe Vektoren auf Orthogonalität.
Deute das Vorzeichen als spitzen, rechten oder stumpfen Winkel.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Skalarprodukt berechnen

Berechne $(2∣ - 1∣3) \cdot (4∣5∣ - 2)$ .

1Komponenten multiplizieren
$2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 5 + 3 \cdot (- 2)$
2Produkte ausrechnen
$8 - 5 - 6$
3Addieren
$8 - 5 - 6 = - 3$

Ergebnis

$a \cdot b = - 3$

Musteraufgabe 2

Mittel

Senkrecht prüfen

Prüfe $u = (1∣2∣ - 1)$ und $v = (3∣ - 1∣1)$ auf Orthogonalität.

1Skalarprodukt
$u \cdot v = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 1) + (- 1) \cdot 1$
2Ausrechnen
$3 - 2 - 1 = 0$
3Folgern
Beide Vektoren sind nicht null und ihr Skalarprodukt ist $0$ .

Ergebnis

$u ⊥ v$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Skalarprodukt

Berechne $(3∣2) \cdot (- 1∣4)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Drei Komponenten

Berechne $(1∣0∣ - 2) \cdot (5∣3∣4)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Orthogonalitätsparameter

Für welches k stehen $(2∣ k)$ und $(3∣ - 2)$ senkrecht?

Aufgabe 4

Einfach

Winkelart

Was folgt aus $a \cdot b < 0$ für zwei von null verschiedene Vektoren?

Aufgabe 5

Mittel

Skalarprodukt zweier Vektoren

Berechne das Skalarprodukt.

(2∣ - 1) \cdot (3∣4)

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Orthogonalitätsparameter

Bestimme k so, dass $a = (1∣ k ∣2)$ und $b = (3∣ - 2∣1)$ senkrecht sind.

a \cdot b = 0

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Orthogonale Projektion

Bestimme die orthogonale Projektion von $a = (4∣2∣0)$ auf $b = (1∣1∣0)$ .

proj_{b} a = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} b

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Länge einer Vektorsumme

Es gilt |a| = $3$ , |b| = $4$ und a · $b = - 6$ . Bestimme |a + b|.

∣ a + b ∣^{2} = ∣ a ∣^{2} + 2 a \cdot b + ∣ b ∣^{2}

Mit dem Skalarprodukt Richtungen vergleichen

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl. Es verbindet ihre Komponenten mit dem eingeschlossenen Winkel und zeigt, wie stark die Vektoren in dieselbe Richtung weisen.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos φ

Bei einem Skalarprodukt von $0$ stehen zwei von null verschiedene Vektoren senkrecht aufeinander.

Das lernst du

Berechne Skalarprodukte komponentenweise.
Prüfe Vektoren auf Orthogonalität.
Deute das Vorzeichen als spitzen, rechten oder stumpfen Winkel.

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt Richtungen vergleichen

Das lernst du

Skalarprodukt berechnen

1Komponenten multiplizieren

2Produkte ausrechnen

3Addieren

Senkrecht prüfen

1Skalarprodukt

2Ausrechnen

3Folgern

Skalarprodukt

Drei Komponenten

Orthogonalitätsparameter

Winkelart

Skalarprodukt zweier Vektoren

Orthogonalitätsparameter

Orthogonale Projektion

Länge einer Vektorsumme

Skalarprodukt

Mit dem Skalarprodukt Richtungen vergleichen

Das lernst du

Skalarprodukt berechnen

1Komponenten multiplizieren

2Produkte ausrechnen

3Addieren

Senkrecht prüfen

1Skalarprodukt

2Ausrechnen

3Folgern

Skalarprodukt

Drei Komponenten

Orthogonalitätsparameter

Winkelart

Skalarprodukt zweier Vektoren

Orthogonalitätsparameter

Orthogonale Projektion

Länge einer Vektorsumme