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Stammfunktion

Eine Stammfunktion besitzt als Ableitung die gegebene Funktion und macht Flächenberechnungen möglich.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Stammfunktionen bestimmen

Eine Stammfunktion F zu f erfüllt $F^{'} (x) = f (x)$ . Da Konstanten beim Ableiten verschwinden, besitzt f eine ganze Familie von Stammfunktionen.

F (x) + C C \in R

Für Potenzen wird die Potenzregel umgekehrt: Exponent um $1$ erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

Das lernst du

Prüfe eine Stammfunktion durch Ableiten.
Bestimme Stammfunktionen von Potenzen, Summen und elementaren Funktionen.
Beschreibe die Familie aller Stammfunktionen mit + C.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Polynom integrieren

Bestimme alle Stammfunktionen von $f (x) = 6 x^{2} - 4$ .

1Potenzterm
$\int 6 x^{2} d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$
2Konstante
$\int (- 4) d x = - 4 x$
3Familie
$F (x) = 2 x^{3} - 4 x + C$

Ergebnis

$F (x) = 2 x^{3} - 4 x + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Sonderfall 1/x

Bestimme eine Stammfunktion von $f (x) = \frac{1}{x}$ auf einem Intervall ohne $0$ .

1Potenzregel prüfen
Der Exponent − $1$ ist von der gewöhnlichen Potenzformel ausgeschlossen.
2Logarithmus verwenden
$\frac{d}{d x} ln ∣ x ∣ = \frac{1}{x}$
3Familie
$F (x) = ln ∣ x ∣ + C$

Ergebnis

$F (x) = ln ∣ x ∣ + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Potenz

Bestimme den Koeffizienten vor x⁴ in einer Stammfunktion von $8 x^{3}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Durch Ableiten prüfen

Ist $F (x) = x^{3} + 2 x$ eine Stammfunktion von $f (x) = 3 x^{2} + 2$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Konstante integrieren

Welche Steigung hat eine Stammfunktion von $f (x) = 7$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Integrationskonstante

Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich um welche Art Term?

Aufgabe 5

Mittel

Polynom als Stammfunktion

Bestimme die allgemeine Stammfunktion der gegebenen Funktion.

f (x) = 12 x^{3} - 6 x + 4

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Integrationskonstante bestimmen

Es gilt $F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4$ und $F (1) = 5$ . Bestimme die konkrete Stammfunktion F.

F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 F (1) = 5

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Gebrochene und negative Potenzen

Bestimme für x > $0$ alle Stammfunktionen. Schreibe das Ergebnis möglichst einfach.

f (x) = 3 x - \frac{2}{x ^{2}}

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Koeffizienten einer Stammfunktion

$F (x) = a x^{4} + b x^{2} + 3$ ist eine Stammfunktion von $f (x) = 8 x^{3} - 6 x$ . Bestimme a und b.

F (x) = a x^{4} + b x^{2} + 3 f (x) = 8 x^{3} - 6 x

Stammfunktionen bestimmen

Eine Stammfunktion F zu f erfüllt $F^{'} (x) = f (x)$ . Da Konstanten beim Ableiten verschwinden, besitzt f eine ganze Familie von Stammfunktionen.

F (x) + C C \in R

Für Potenzen wird die Potenzregel umgekehrt: Exponent um $1$ erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

Das lernst du

Prüfe eine Stammfunktion durch Ableiten.
Bestimme Stammfunktionen von Potenzen, Summen und elementaren Funktionen.
Beschreibe die Familie aller Stammfunktionen mit + C.

Stammfunktion

Stammfunktionen bestimmen

Das lernst du

Polynom integrieren

1Potenzterm

2Konstante

3Familie

Sonderfall 1/x

1Potenzregel prüfen

2Logarithmus verwenden

3Familie

Potenz

Durch Ableiten prüfen

Konstante integrieren

Integrationskonstante

Polynom als Stammfunktion

Integrationskonstante bestimmen

Gebrochene und negative Potenzen

Koeffizienten einer Stammfunktion

Stammfunktion

Stammfunktionen bestimmen

Das lernst du

Polynom integrieren

1Potenzterm

2Konstante

3Familie

Sonderfall 1/x

1Potenzregel prüfen

2Logarithmus verwenden

3Familie

Potenz

Durch Ableiten prüfen

Konstante integrieren

Integrationskonstante

Polynom als Stammfunktion

Integrationskonstante bestimmen

Gebrochene und negative Potenzen

Koeffizienten einer Stammfunktion