Themenübersicht

Steckbriefaufgaben

Steckbriefaufgaben bestimmen eine Funktionsgleichung aus gegebenen Punkten, Steigungen und weiteren Bedingungen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Funktionen aus Bedingungen rekonstruieren

Bei einer Steckbriefaufgabe ist die Funktion unbekannt, aber Eigenschaften ihres Graphen sind gegeben. Wähle einen Ansatz mit genügend Koeffizienten und übersetze jede Eigenschaft in eine Gleichung.

P (x_{P} ∣ y_{P}) : f (x_{P}) = y_{P} Extremstelle : f^{'} (x_{E}) = 0 Wendestelle : f^{''} (x_{W}) = 0

Eine vorgegebene Tangentensteigung m liefert $f^{'} (x_{0}) = m$ . Löse das entstehende lineare Gleichungssystem und prüfe anschliessend alle ursprünglichen Bedingungen.

Das lernst du

Wähle einen passenden Polynomansatz mit genügend Koeffizienten.
Übersetze Punkte, Nullstellen, Steigungen, Extrema und Wendestellen in Gleichungen.
Löse das Koeffizientensystem und prüfe die rekonstruierte Funktion.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

Bestimme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $f (0) = 1$ , $f^{'} (0) = 2$ und $f (1) = 0$ .

1Erste zwei Bedingungen
$f (0) = c = 1$ $f^{'} (x) = 2 a x + b f^{'} (0) = b = 2$
2Dritte Bedingung
$f (1) = a + b + c = 0$
3Koeffizient a
$a + 2 + 1 = 0 \Rightarrow a = - 3$

Ergebnis

$f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Musteraufgabe 2

Mittel

Kubische Funktion mit waagrechter Tangente

Bestimme $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ aus $g (0) = 0$ , $g^{'} (0) = 0$ , $g (1) = 2$ und $g^{'} (1) = 3$ .

1Bedingungen bei 0
$d = 0 c = 0$
2Bedingungen bei 1
$a + b = 2$ $3 a + 2 b = 3$
3System lösen
$a = - 1 b = 3$

Ergebnis

$g (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Punktbedingung

Welche Gleichung folgt aus $P (2 ∣ 5)$ auf dem Graphen von f?

Aufgabe 2

Einfach

Extremstellenbedingung

Welche notwendige Gleichung liefert eine Extremstelle bei $x = 3$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Gerade bestimmen

Die Gerade $f (x) = a x + b$ geht durch $(0 ∣ 2)$ und $(3 ∣ 8)$ . Bestimme a.

Aufgabe 4

Einfach

Anzahl Bedingungen

Wie viele unabhängige Bedingungen brauchst du im Allgemeinen für $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Parabel aus Scheitel und Punkt

Eine Parabel hat den Scheitel $S (2∣ - 3)$ und verläuft durch $P (0∣1)$ . Bestimme ihre Funktionsgleichung.

f (x) = a (x - 2)^{2} - 3

Aufgabe 6

Mittel

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

Bestimme $f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $f (0) = 1$ , einer Extremstelle bei $x = 2$ und $f (3) = 4$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Kubische Funktion mit Wendepunkt und Tangente

Bestimme $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ mit $f (0) = 0$ , Wendepunkt $W (1∣2)$ und Wendetangentensteigung $3$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Gerade Funktion vierten Grades rekonstruieren

Eine gerade Funktion vierten Grades hat die Form $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ . Sie erfüllt $f (0) = 1$ und besitzt bei $x = \pm 1$ Tiefpunkte auf der x-Achse. Bestimme f.

Funktionen aus Bedingungen rekonstruieren

P (x_{P} ∣ y_{P}) : f (x_{P}) = y_{P} Extremstelle : f^{'} (x_{E}) = 0 Wendestelle : f^{''} (x_{W}) = 0

Eine vorgegebene Tangentensteigung m liefert $f^{'} (x_{0}) = m$ . Löse das entstehende lineare Gleichungssystem und prüfe anschliessend alle ursprünglichen Bedingungen.

Das lernst du

Wähle einen passenden Polynomansatz mit genügend Koeffizienten.
Übersetze Punkte, Nullstellen, Steigungen, Extrema und Wendestellen in Gleichungen.
Löse das Koeffizientensystem und prüfe die rekonstruierte Funktion.

Steckbriefaufgaben

Funktionen aus Bedingungen rekonstruieren

Das lernst du

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

1Erste zwei Bedingungen

2Dritte Bedingung

3Koeffizient a

Kubische Funktion mit waagrechter Tangente

1Bedingungen bei 0

2Bedingungen bei 1

3System lösen

Punktbedingung

Extremstellenbedingung

Gerade bestimmen

Anzahl Bedingungen

Parabel aus Scheitel und Punkt

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

Kubische Funktion mit Wendepunkt und Tangente

Gerade Funktion vierten Grades rekonstruieren

Steckbriefaufgaben

Funktionen aus Bedingungen rekonstruieren

Das lernst du

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

1Erste zwei Bedingungen

2Dritte Bedingung

3Koeffizient a

Kubische Funktion mit waagrechter Tangente

1Bedingungen bei 0

2Bedingungen bei 1

3System lösen

Punktbedingung

Extremstellenbedingung

Gerade bestimmen

Anzahl Bedingungen

Parabel aus Scheitel und Punkt

Quadratische Funktion aus drei Bedingungen

Kubische Funktion mit Wendepunkt und Tangente

Gerade Funktion vierten Grades rekonstruieren