Themenübersicht

Summenregel

Die Summenregel erlaubt, jeden Summanden einer Funktion getrennt abzuleiten.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Summen- und Differenzenregel

Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet. Das Vorzeichen jedes Terms bleibt dabei erhalten.

(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)

Bei Polynomen kombinierst du Summenregel, Faktorregel und Potenzregel. Konstante Summanden verschwinden, weil ihre Ableitung null ist.

Das lernst du

Leite Summen und Differenzen gliedweise ab.
Kombiniere Summen-, Faktor- und Potenzregel bei Polynomen.
Vereinfache die abgeleiteten Terme und berechne Steigungswerte.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Polynom ableiten

Leite $f (x) = 4 x^{5} - 3 x^{2} + 7 x - 9$ ab.

1Gliedweise ableiten
$f^{'} (x) = 4 \cdot 5 x^{4} - 3 \cdot 2 x + 7 \cdot 1 - 0$
2Faktoren berechnen
$20 x^{4} - 6 x + 7$
3Konstante prüfen
Der Summand − $9$ fällt in der Ableitung weg.

Ergebnis

$f^{'} (x) = 20 x^{4} - 6 x + 7$

Musteraufgabe 2

Mittel

Wurzel und Kehrwert

Leite $g (x) = x + \frac{2}{x}$ für $x > 0$ ab.

1Potenzen schreiben
$g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$
2Gliedweise ableiten
$g^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$
3Bruchschreibweise
$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{2}{x ^{2}}$

Ergebnis

$g^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{2}{x ^{2}}$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Drei Terme

Berechne $f^{'} (2)$ für $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Konstante ableiten

Welchen Beitrag liefert der Summand $12$ zur Ableitung?

Aufgabe 3

Einfach

Minuszeichen

Bestimme den Koeffizienten von $x^{2}$ in der Ableitung von $- 2 x^{3} + 5 x$ .

Aufgabe 4

Einfach

Ableitung auswählen

Welche Ableitung gehört zu $h (x) = 3 x^{4} - x^{2} + 8$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Polynom summandenweise ableiten

Leite $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 7$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

Ableitungswert eines Polynoms

Für $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3 x$ : Berechne $f^{'} (1)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Gemischte Funktionsterme

Leite $f (x) = \frac{1}{x} + x - e^{x}$ für $x > 0$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Zweite Ableitung einer Summe

Bestimme die zweite Ableitung von $f (x) = x^{5} - 3 x^{3} + 2 x$ .

Summen- und Differenzenregel

Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet. Das Vorzeichen jedes Terms bleibt dabei erhalten.

(f (x) \pm g (x))^{'} = f^{'} (x) \pm g^{'} (x)

Bei Polynomen kombinierst du Summenregel, Faktorregel und Potenzregel. Konstante Summanden verschwinden, weil ihre Ableitung null ist.

Das lernst du

Leite Summen und Differenzen gliedweise ab.
Kombiniere Summen-, Faktor- und Potenzregel bei Polynomen.
Vereinfache die abgeleiteten Terme und berechne Steigungswerte.

Summenregel

Summen- und Differenzenregel

Das lernst du

Polynom ableiten

1Gliedweise ableiten

2Faktoren berechnen

3Konstante prüfen

Wurzel und Kehrwert

1Potenzen schreiben

2Gliedweise ableiten

3Bruchschreibweise

Drei Terme

Konstante ableiten

Minuszeichen

Ableitung auswählen

Polynom summandenweise ableiten

Ableitungswert eines Polynoms

Gemischte Funktionsterme

Zweite Ableitung einer Summe

Summenregel

Summen- und Differenzenregel

Das lernst du

Polynom ableiten

1Gliedweise ableiten

2Faktoren berechnen

3Konstante prüfen

Wurzel und Kehrwert

1Potenzen schreiben

2Gliedweise ableiten

3Bruchschreibweise

Drei Terme

Konstante ableiten

Minuszeichen

Ableitung auswählen

Polynom summandenweise ableiten

Ableitungswert eines Polynoms

Gemischte Funktionsterme

Zweite Ableitung einer Summe