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Symmetrie von Funktionen

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie lassen sich über Funktionswerte erkennen und erleichtern das Zeichnen von Graphen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Symmetrie von Funktionen

Eine Funktion ist gerade und ihr Graph y-achsensymmetrisch, wenn das Ersetzen von x durch −x den Term nicht verändert. Sie ist ungerade und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sich dabei das Vorzeichen des gesamten Funktionswerts ändert.

f (- x) = f (x) (gerade) f (- x) = - f (x) (ungerade)

Bei Polynomen mit nur geraden Exponenten liegt gerade Symmetrie vor; nur ungerade Exponenten führen zu ungerader Symmetrie. Mischformen sind im Allgemeinen weder noch.

Das lernst du

Berechne und vereinfache f(−x).
Prüfe algebraisch auf Achsen- oder Ursprungssymmetrie.
Erkenne Funktionen ohne eine dieser beiden Symmetrien.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Y-Achsensymmetrisches Polynom

Untersuche $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ auf Symmetrie.

1−x einsetzen
$f (- x) = (- x)^{4} - 3 (- x)^{2} + 2$
2Potenzen vereinfachen
$f (- x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$
3Vergleichen
$f (- x) = f (x)$

Ergebnis

f ist gerade; ihr Graph ist y-achsensymmetrisch.

Musteraufgabe 2

Mittel

Ursprungssymmetrisches Polynom

Untersuche $g (x) = x^{3} - 4 x$ auf Symmetrie.

1−x einsetzen
$g (- x) = (- x)^{3} - 4 (- x) = - x^{3} + 4 x$
2−g(x) bilden
$- g (x) = - (x^{3} - 4 x) = - x^{3} + 4 x$
3Vergleichen
$g (- x) = - g (x)$

Ergebnis

g ist ungerade; ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Ungerade Funktion

Welche Symmetrie besitzt $f (x) = x^{5} + 2 x^{3} - x$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Gemischte Potenzen

Welche Symmetrie besitzt $g (x) = x^{2} + x$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Konstante Funktion

Ist $h (x) = 7$ gerade, ungerade oder weder noch?

Aufgabe 4

Einfach

Parameterterm

Für wie viele reelle Werte a ist $p_{a} (x) = x^{3} + a x$ ungerade?

Aufgabe 5

Mittel

Achsensymmetrie nachweisen

Welche Symmetrie besitzt $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ ?

Aufgabe 6

Mittel

Punktsymmetrie erkennen

Welche Symmetrie besitzt $g (x) = x^{3} - 4 x$ ?

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Logarithmische Symmetrie mit Definitionsbereich

Untersuche die Funktion einschliesslich ihres Definitionsbereichs auf Achsen- oder Punktsymmetrie.

f (x) = ln (\frac{2 + x}{2 - x})

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Symmetrieachse einer Exponentialsumme

Bestimme den positiven Parameter a so, dass die Funktion zur angegebenen Geraden achsensymmetrisch ist.

f_{a} (x) = e^{2 x} + a e^{- 2 x} x = \frac{ln 2}{2}

Symmetrie von Funktionen

f (- x) = f (x) (gerade) f (- x) = - f (x) (ungerade)

Bei Polynomen mit nur geraden Exponenten liegt gerade Symmetrie vor; nur ungerade Exponenten führen zu ungerader Symmetrie. Mischformen sind im Allgemeinen weder noch.

Das lernst du

Berechne und vereinfache f(−x).
Prüfe algebraisch auf Achsen- oder Ursprungssymmetrie.
Erkenne Funktionen ohne eine dieser beiden Symmetrien.

Symmetrie von Funktionen

Symmetrie von Funktionen

Das lernst du

Y-Achsensymmetrisches Polynom

1−x einsetzen

2Potenzen vereinfachen

3Vergleichen

Ursprungssymmetrisches Polynom

1−x einsetzen

2−g(x) bilden

3Vergleichen

Ungerade Funktion

Gemischte Potenzen

Konstante Funktion

Parameterterm

Achsensymmetrie nachweisen

Punktsymmetrie erkennen

Logarithmische Symmetrie mit Definitionsbereich

Symmetrieachse einer Exponentialsumme

Symmetrie von Funktionen

Symmetrie von Funktionen

Das lernst du

Y-Achsensymmetrisches Polynom

1−x einsetzen

2Potenzen vereinfachen

3Vergleichen

Ursprungssymmetrisches Polynom

1−x einsetzen

2−g(x) bilden

3Vergleichen

Ungerade Funktion

Gemischte Potenzen

Konstante Funktion

Parameterterm

Achsensymmetrie nachweisen

Punktsymmetrie erkennen

Logarithmische Symmetrie mit Definitionsbereich

Symmetrieachse einer Exponentialsumme