Themenübersicht

Trigonometrische Funktionen ableiten

Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen besitzen feste Ableitungsregeln für periodische Vorgänge.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Trigonometrische Funktionen ableiten

Die Ableitungsformeln für Sinus, Kosinus und Tangens gelten in dieser Form, wenn der Winkel im Bogenmass gemessen wird.

(sin x)^{'} = cos x (cos x)^{'} = - sin x (tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

Bei einem zusammengesetzten Winkel $u (x)$ wird jede Formel mit der Kettenregel ergänzt: Die Ableitung des inneren Winkels wird multipliziert.

Das lernst du

Leite Sinus, Kosinus und Tangens im Bogenmass ab.
Kombiniere trigonometrische Ableitungen mit Faktor- und Summenregel.
Wende die Kettenregel auf zusammengesetzte Winkel an.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Linearkombination

Leite $f (x) = 3 sin x - 2 cos x$ ab.

1Sinus ableiten
$(3 sin x)^{'} = 3 cos x$
2Kosinus mit Vorzeichen
$(- 2 cos x)^{'} = - 2 (- sin x) = 2 sin x$
3Zusammenfassen
$f^{'} (x) = 3 cos x + 2 sin x$

Ergebnis

$f^{'} (x) = 3 cos x + 2 sin x$

Musteraufgabe 2

Mittel

Sinus mit quadratischem Winkel

Leite $g (x) = sin (4 x^{2})$ ab.

1Innere Funktion
$u (x) = 4 x^{2} u^{'} (x) = 8 x$
2Äussere Ableitung
$(sin u)^{'} = cos u$
3Kettenregel
$g^{'} (x) = 8 x cos (4 x^{2})$

Ergebnis

$g^{'} (x) = 8 x cos (4 x^{2})$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Sinussteigung

Berechne $f^{'} (0)$ für $f (x) = sin x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Kosinus mit Kette

Berechne $g^{'} (0)$ für $g (x) = cos (3 x)$ .

Aufgabe 3

Einfach

Tangenssteigung

Berechne $h^{'} (0)$ für $h (x) = tan x$ .

Aufgabe 4

Einfach

Kosinus ableiten

Welcher Faktor steht vor $sin (5 x - 2)$ in der Ableitung von $cos (5 x - 2)$ ?

Aufgabe 5

Mittel

Linearkombination von Sinus und Kosinus

Leite $f (x) = 3 sin x - 2 cos x$ ab.

Aufgabe 6

Mittel

Sinussteigung bei π

Für $f (x) = sin x$ : Berechne $f^{'} (π)$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Verschiedene innere Frequenzen

Leite $f (x) = sin (2 x) + cos (3 x)$ ab.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Quadrat der Sinusfunktion

Leite $f (x) = sin^{2} x$ ab.

Trigonometrische Funktionen ableiten

Die Ableitungsformeln für Sinus, Kosinus und Tangens gelten in dieser Form, wenn der Winkel im Bogenmass gemessen wird.

(sin x)^{'} = cos x (cos x)^{'} = - sin x (tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}

Bei einem zusammengesetzten Winkel $u (x)$ wird jede Formel mit der Kettenregel ergänzt: Die Ableitung des inneren Winkels wird multipliziert.

Das lernst du

Leite Sinus, Kosinus und Tangens im Bogenmass ab.
Kombiniere trigonometrische Ableitungen mit Faktor- und Summenregel.
Wende die Kettenregel auf zusammengesetzte Winkel an.

Trigonometrische Funktionen ableiten

Trigonometrische Funktionen ableiten

Das lernst du

Linearkombination

1Sinus ableiten

2Kosinus mit Vorzeichen

3Zusammenfassen

Sinus mit quadratischem Winkel

1Innere Funktion

2Äussere Ableitung

3Kettenregel

Sinussteigung

Kosinus mit Kette

Tangenssteigung

Kosinus ableiten

Linearkombination von Sinus und Kosinus

Sinussteigung bei π

Verschiedene innere Frequenzen

Quadrat der Sinusfunktion

Trigonometrische Funktionen ableiten

Trigonometrische Funktionen ableiten

Das lernst du

Linearkombination

1Sinus ableiten

2Kosinus mit Vorzeichen

3Zusammenfassen

Sinus mit quadratischem Winkel

1Innere Funktion

2Äussere Ableitung

3Kettenregel

Sinussteigung

Kosinus mit Kette

Tangenssteigung

Kosinus ableiten

Linearkombination von Sinus und Kosinus

Sinussteigung bei π

Verschiedene innere Frequenzen

Quadrat der Sinusfunktion