Themenübersicht

Unbestimmtes Integral

Das unbestimmte Integral fasst alle Stammfunktionen einer Funktion zusammen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Unbestimmte Integrale

Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen eines Integranden f.

\int f (x) d x = F (x) + C

Das Symbol dx kennzeichnet die Integrationsvariable. Faktor- und Summenregel gelten linear; bei verketteten Funktionen kann eine rückwärts erkannte Kettenregel nötig sein.

Das lernst du

Lies Integrand, Integrationsvariable und Integrationskonstante korrekt.
Wende Faktor-, Summen- und Potenzregel rückwärts an.
Kontrolliere unbestimmte Integrale durch Differenzieren.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Polynom integrieren

Berechne $\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x$ .

1Gliedweise
$\int 3 x^{2} d x = x^{3} \int (- 4 x) d x = - 2 x^{2} \int 5 d x = 5 x$
2Zusammenfügen
$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$
3Konstante
$\int (3 x^{2} - 4 x + 5) d x = x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$

Ergebnis

$x^{3} - 2 x^{2} + 5 x + C$

Musteraufgabe 2

Mittel

Exponentialfunktion mit innerem Faktor

Berechne $\int e^{2 x} d x$ .

1Innere Ableitung
Die Ableitung von 2x ist $2$ .
2Ausgleichsfaktor
$\frac{1}{2} e^{2 x}$
3Probe
$(\frac{1}{2} e^{2 x})^{'} = \frac{1}{2} \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x}$

Ergebnis

$\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Polynom

Bestimme den Koeffizienten vor $x^{3}$ in $\int 6 x^{2} d x$ .

Aufgabe 2

Einfach

Linearer Integrand

Berechne eine Stammfunktion von $4 x - 3$ bei $C = 0$ und werte sie bei $x = 2$ aus.

Aufgabe 3

Einfach

e-Funktion

Welcher Faktor steht vor $e^{5 x}$ in $\int e^{5 x} d x$ ?

Aufgabe 4

Einfach

Resultatart

Was liefert ein unbestimmtes Integral?

Aufgabe 5

Mittel

Potenzintegral mit negativem Exponenten

Berechne das unbestimmte Integral.

\int (5 x^{4} - 3 x^{- 2}) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Exponential- und Logarithmusterm

Berechne das unbestimmte Integral auf einem Intervall ohne $0$ .

\int (2 e^{2 x} + \frac{4}{x}) d x

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Rückwärts angewandte Kettenregel

Berechne das unbestimmte Integral durch Substitution.

\int (6 x + 2) (3 x^{2} + 2 x - 1)^{4} d x

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wurzel einer quadratischen Summe

Berechne das unbestimmte Integral.

\int \frac{x}{x ^{2} + 4} d x

Unbestimmte Integrale

Das unbestimmte Integral bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen eines Integranden f.

\int f (x) d x = F (x) + C

Das Symbol dx kennzeichnet die Integrationsvariable. Faktor- und Summenregel gelten linear; bei verketteten Funktionen kann eine rückwärts erkannte Kettenregel nötig sein.

Das lernst du

Lies Integrand, Integrationsvariable und Integrationskonstante korrekt.
Wende Faktor-, Summen- und Potenzregel rückwärts an.
Kontrolliere unbestimmte Integrale durch Differenzieren.

Unbestimmtes Integral

Unbestimmte Integrale

Das lernst du

Polynom integrieren

1Gliedweise

2Zusammenfügen

3Konstante

Exponentialfunktion mit innerem Faktor

1Innere Ableitung

2Ausgleichsfaktor

3Probe

Polynom

Linearer Integrand

e-Funktion

Resultatart

Potenzintegral mit negativem Exponenten

Exponential- und Logarithmusterm

Rückwärts angewandte Kettenregel

Wurzel einer quadratischen Summe

Unbestimmtes Integral

Unbestimmte Integrale

Das lernst du

Polynom integrieren

1Gliedweise

2Zusammenfügen

3Konstante

Exponentialfunktion mit innerem Faktor

1Innere Ableitung

2Ausgleichsfaktor

3Probe

Polynom

Linearer Integrand

e-Funktion

Resultatart

Potenzintegral mit negativem Exponenten

Exponential- und Logarithmusterm

Rückwärts angewandte Kettenregel

Wurzel einer quadratischen Summe