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Varianz und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung messen, wie stark Werte einer Verteilung um ihren Erwartungswert streuen.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Die Streuung einer Zufallsvariablen messen

Die Varianz ist die erwartete quadratische Abweichung vom Mittelwert. Die Standardabweichung ist ihre Wurzel und besitzt wieder dieselbe Einheit wie X.

Var (X) = E ((X - μ)^{2}) σ = Var (X)

Für $X \sim B (n, p)$ gilt $Var (X) = n p (1 - p)$ und $σ = n p (1 - p)$ .

Das lernst du

Berechne Varianz und Standardabweichung.
Nutze die Binomialformeln np(1 − p) und deren Wurzel.
Vergleiche Verteilungen über ihre Streuung.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Binomialstreuung

Für $X \sim B (100, 0, 2)$ : Bestimme Varianz und Standardabweichung.

1Varianz
$Var (X) = 100 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 16$
2Wurzel
$σ = 16 = 4$
3Deuten
Die Trefferzahl streut typischerweise um etwa $4$ um den Mittelwert $20$ .

Ergebnis

$Var (X) = 16, σ = 4$

Musteraufgabe 2

Mittel

Streuung einer Binomialverteilung

Für X~ $B (30; 0, 2)$ bestimme $V a r (X)$ und σ.

Visualisierung zur Aufgabenstruktur

1Varianz
Nutze $n p (1 - p)$ .
$Var (X) = 30 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 4, 8$
2Standardabweichung
Ziehe die Quadratwurzel der Varianz.
$σ = 4, 8 \approx 2, 191$

Ergebnis

Die Varianz ist $4, 8$ und die Standardabweichung ungefähr $2, 191$ .

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Varianz

Für $X \sim B (20, 0, 5)$ : Bestimme $V a r (X)$ .

Aufgabe 2

Einfach

Standardabweichung

Für $X \sim B (16, 0, 5)$ : Bestimme σ.

Aufgabe 3

Einfach

Konstante Variable

X nimmt sicher den Wert $7$ an. Bestimme $V a r (X)$ .

Aufgabe 4

Einfach

Einheit

Welche Streuungsgrösse hat dieselbe Einheit wie X?

Aufgabe 5

Mittel

Binomialvarianz

Für X~ $B (20; 0, 30)$ berechne $V a r (X)$ .

Aufgabe 6

Mittel

Standardabweichung einer Trefferzahl

Für X~ $B (100; 0, 09)$ berechne die Standardabweichung σ.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Standardabweichung einer dreipunktigen Verteilung

X nimmt die Werte $1$ , $2$ und $3$ mit Wahrscheinlichkeiten $0, 20$ , $0, 50$ und $0, 30$ an. Berechne die Standardabweichung σ.

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

n aus Erwartungswert und Streuung

Für X~ $B (n; p)$ gilt $E (X) = 8$ und σ= $2$ . Bestimme n.

Die Streuung einer Zufallsvariablen messen

Die Varianz ist die erwartete quadratische Abweichung vom Mittelwert. Die Standardabweichung ist ihre Wurzel und besitzt wieder dieselbe Einheit wie X.

Var (X) = E ((X - μ)^{2}) σ = Var (X)

Für $X \sim B (n, p)$ gilt $Var (X) = n p (1 - p)$ und $σ = n p (1 - p)$ .

Das lernst du

Berechne Varianz und Standardabweichung.
Nutze die Binomialformeln np(1 − p) und deren Wurzel.
Vergleiche Verteilungen über ihre Streuung.

Varianz und Standardabweichung

Die Streuung einer Zufallsvariablen messen

Das lernst du

Binomialstreuung

1Varianz

2Wurzel

3Deuten

Streuung einer Binomialverteilung

1Varianz

2Standardabweichung

Varianz

Standardabweichung

Konstante Variable

Einheit

Binomialvarianz

Standardabweichung einer Trefferzahl

Standardabweichung einer dreipunktigen Verteilung

n aus Erwartungswert und Streuung

Varianz und Standardabweichung

Die Streuung einer Zufallsvariablen messen

Das lernst du

Binomialstreuung

1Varianz

2Wurzel

3Deuten

Streuung einer Binomialverteilung

1Varianz

2Standardabweichung

Varianz

Standardabweichung

Konstante Variable

Einheit

Binomialvarianz

Standardabweichung einer Trefferzahl

Standardabweichung einer dreipunktigen Verteilung

n aus Erwartungswert und Streuung