Themenübersicht

Wendepunkte berechnen

Wendepunkte markieren den Wechsel der Krümmung eines Graphen und werden über die zweite Ableitung untersucht.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Wendepunkte berechnen

An einem Wendepunkt wechselt die Krümmungsrichtung des Graphen. Für zweimal differenzierbare Funktionen sind Nullstellen von $f^{''}$ Kandidaten.

f^{''} (x_{W}) = 0 und Kr \overset{u}{¨} mmungswechsel

Ein häufig verwendetes hinreichendes Kriterium ist $f^{''} (x_{W}) = 0$ und $f^{'''} (x_{W}) \neq = 0$ . Allgemeiner prüfst du den Vorzeichenwechsel von f″. Danach berechnest du $y_{W} = f (x_{W})$ .

Das lernst du

Bestimme Wendestellenkandidaten mit f″(x) = 0.
Prüfe den Krümmungswechsel mit f‴ oder einer Vorzeichentabelle.
Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunkts.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Kubische Funktion

Bestimme den Wendepunkt von $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

1Ableitungen
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x f^{''} (x) = 6 x - 6 f^{'''} (x) = 6$
2Kandidat und Test
$6 x - 6 = 0 \Rightarrow x_{W} = 1$ $f^{'''} (1) = 6 \neq = 0$
3y-Koordinate
$f (1) = 1 - 3 = - 2$

Ergebnis

$W (1 ∣ - 2)$

Musteraufgabe 2

Mittel

Notwendige Bedingung ohne Wendepunkt

Prüfe $g (x) = x^{4}$ bei $x = 0$ .

1Zweite Ableitung
$g^{''} (x) = 12 x^{2} g^{''} (0) = 0$
2Vorzeichen prüfen
Für x < $0$ und x > $0$ gilt $12 x^{2} > 0$ .
3Folgerung
Die Krümmung wechselt nicht.

Ergebnis

Bei $x = 0$ liegt kein Wendepunkt vor.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Wendestelle

Bestimme die x-Koordinate des Wendepunkts von $f (x) = x^{3} + 6 x^{2}$ .

Aufgabe 2

Einfach

Wendepunkt vervollständigen

Für $g (x) = x^{3} - 3 x$ liegt die Wendestelle bei $x = 0$ . Bestimme die y-Koordinate.

Aufgabe 3

Einfach

Hinreichender Test

Es gilt $f^{''} (2) = 0$ und $f^{'''} (2) = 4$ . Welche Aussage ist korrekt?

Aufgabe 4

Einfach

Kein Krümmungswechsel

$f^{''} (x) = (x - 1)^{2}$ hat bei $x = 1$ eine Nullstelle. Liegt dort wegen f″ allein ein Wendepunkt vor?

Aufgabe 5

Mittel

Wendepunkt einer kubischen Funktion

Bestimme den Wendepunkt von $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .

Aufgabe 6

Mittel

Zwei Wendepunkte einer geraden Funktion

Bestimme die Wendepunkte von $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Drei Wendepunkte einer Funktion fünften Grades

Bestimme alle Wendepunkte von $f (x) = x^{5} - 5 x^{3}$ .

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Wendepunktfreiheit des Logarithmus

Untersuche $f (x) = l n$ x auf Wendepunkte und begründe das Ergebnis über die zweite Ableitung.

Wendepunkte berechnen

An einem Wendepunkt wechselt die Krümmungsrichtung des Graphen. Für zweimal differenzierbare Funktionen sind Nullstellen von $f^{''}$ Kandidaten.

f^{''} (x_{W}) = 0 und Kr \overset{u}{¨} mmungswechsel

Das lernst du

Bestimme Wendestellenkandidaten mit f″(x) = 0.
Prüfe den Krümmungswechsel mit f‴ oder einer Vorzeichentabelle.
Berechne die vollständigen Koordinaten des Wendepunkts.

Wendepunkte berechnen

Wendepunkte berechnen

Das lernst du

Kubische Funktion

1Ableitungen

2Kandidat und Test

3y-Koordinate

Notwendige Bedingung ohne Wendepunkt

1Zweite Ableitung

2Vorzeichen prüfen

3Folgerung

Wendestelle

Wendepunkt vervollständigen

Hinreichender Test

Kein Krümmungswechsel

Wendepunkt einer kubischen Funktion

Zwei Wendepunkte einer geraden Funktion

Drei Wendepunkte einer Funktion fünften Grades

Wendepunktfreiheit des Logarithmus

Wendepunkte berechnen

Wendepunkte berechnen

Das lernst du

Kubische Funktion

1Ableitungen

2Kandidat und Test

3y-Koordinate

Notwendige Bedingung ohne Wendepunkt

1Zweite Ableitung

2Vorzeichen prüfen

3Folgerung

Wendestelle

Wendepunkt vervollständigen

Hinreichender Test

Kein Krümmungswechsel

Wendepunkt einer kubischen Funktion

Zwei Wendepunkte einer geraden Funktion

Drei Wendepunkte einer Funktion fünften Grades

Wendepunktfreiheit des Logarithmus