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Winkel zwischen Gerade und Ebene

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene wird aus dem Winkel zwischen Richtungs- und Normalenvektor bestimmt.

MathematikSekundarstufe II

Lernweg

Theorie
verstehen Beispiele
nachvollziehen Selbst
rechnen

Lernschritt

Theorie verstehen

Den Winkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen

Der Schnittwinkel α zwischen einer Geraden mit Richtung v und einer Ebene mit Normalenvektor n liegt zwischen $0$ ° und $90$ °. Er ist der Ergänzungswinkel zum Winkel zwischen v und n.

sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}

Das Betragszeichen wählt automatisch den kleineren Schnittwinkel.

Das lernst du

Lies Richtungs- und Normalenvektor ab.
Berechne den Schnittwinkel mit der Sinusformel.
Erkenne parallele und senkrechte Sonderfälle.

Lernschritt

Beispiele nachvollziehen

Musteraufgabe 1

Einfach

Schnittwinkel 45°

Bestimme den Winkel von $g : x = t (1∣0∣1)$ mit $E : z = 0$ .

1Vektoren
$v = (1∣0∣1) n = (0∣0∣1)$
2Sinus
$sin α = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$
3Winkel
$α = 4 5^{\circ}$

Ergebnis

$α = 4 5^{\circ}$

Musteraufgabe 2

Mittel

Paralleler Sonderfall

Bestimme den Winkel für $v = (1∣2∣0)$ und Ebene $E : z = 3$ .

1Normale
$n = (0∣0∣1)$
2Skalarprodukt
$v \cdot n = 0$
3Winkel
$sin α = 0 \Rightarrow α = 0^{\circ}$

Ergebnis

Die Gerade ist parallel zur Ebene.

Lernschritt

Selbst rechnen

Aufgabe 1

Einfach

Parallel

Wie gross ist der Winkel in Grad für $v = (2∣ - 1∣0)$ und $E : z = 5$ ?

Aufgabe 2

Einfach

Senkrecht

Wie gross ist der Winkel in Grad für $v = (0∣0∣3)$ und $E : z = 0$ ?

Aufgabe 3

Einfach

Winkel berechnen

Bestimme den Winkel in Grad für $v = (3 ∣0∣1)$ und $E : z = 0$ .

Aufgabe 4

Einfach

Passende Funktion

Welche Umkehrfunktion verwendest du bei der direkten Gerade-Ebene-Formel?

Aufgabe 5

Mittel

Schnittwinkel von 45 Grad

Bestimme den Winkel zwischen der Geraden mit Richtungsvektor $v = (1∣0∣1)$ und der Ebene E: $z = 0$ .

sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 6

Mittel

Gerade parallel zur Ebene

Bestimme den Winkel zwischen einer Geraden mit $v = (2∣ - 1∣0)$ und der Ebene E: $z = 3$ .

sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}

Bearbeite die Aufgabe schriftlich. Vergleiche danach mit der Lösung.

Aufgabe 7

Anspruchsvoll

Allgemeiner Schnittwinkel

Bestimme den kleineren Winkel zwischen einer Geraden mit $v = (1∣2∣2)$ und der Ebene E.

E : x - y + 2 z = 0

Aufgabe 8

Anspruchsvoll

Parameter für einen vorgegebenen Winkel

Bestimme alle k, sodass eine Gerade mit $v = (1∣ k ∣1)$ die Ebene E: $z = 0$ unter $30$ ° schneidet.

sin 3 0^{\circ} = \frac{∣ v \cdot ( 0∣0∣1 ) ∣}{∣ v ∣}

Den Winkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen

Der Schnittwinkel α zwischen einer Geraden mit Richtung v und einer Ebene mit Normalenvektor n liegt zwischen $0$ ° und $90$ °. Er ist der Ergänzungswinkel zum Winkel zwischen v und n.

sin α = \frac{∣ v \cdot n ∣}{∣ v ∣ ∣ n ∣}

Das Betragszeichen wählt automatisch den kleineren Schnittwinkel.

Das lernst du

Lies Richtungs- und Normalenvektor ab.
Berechne den Schnittwinkel mit der Sinusformel.
Erkenne parallele und senkrechte Sonderfälle.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Den Winkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen

Das lernst du

Schnittwinkel 45°

1Vektoren

2Sinus

3Winkel

Paralleler Sonderfall

1Normale

2Skalarprodukt

3Winkel

Parallel

Senkrecht

Winkel berechnen

Passende Funktion

Schnittwinkel von 45 Grad

Gerade parallel zur Ebene

Allgemeiner Schnittwinkel

Parameter für einen vorgegebenen Winkel

Winkel zwischen Gerade und Ebene

Den Winkel zwischen Gerade und Ebene bestimmen

Das lernst du

Schnittwinkel 45°

1Vektoren

2Sinus

3Winkel

Paralleler Sonderfall

1Normale

2Skalarprodukt

3Winkel

Parallel

Senkrecht

Winkel berechnen

Passende Funktion

Schnittwinkel von 45 Grad

Gerade parallel zur Ebene

Allgemeiner Schnittwinkel

Parameter für einen vorgegebenen Winkel